Контрольная работа по "Математике"
Автор: julya88 • Март 6, 2018 • Контрольная работа • 1,130 Слов (5 Страниц) • 724 Просмотры
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Контрольная работа № 2 по математике
Ижевск 2015 |
Вариант №6
7. Классическим методом найти частное решение системы дифференциальных уравнений[pic 1] , удовлетворяющее начальным условиям: .[pic 2]
Решение: Продифференцируем первое уравнение системы по переменной
[pic 3]
Из первого уравнения определяем
[pic 4]
Следовательно, из второго уравнения имеем
[pic 5]
Подставляем уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
- линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.[pic 10]
Составим характеристическое уравнение и находим его корни:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
В этом случае общее решение дифференцированного уравнения имеет вид
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Ранее определи
[pic 19]
Тогда
[pic 20]
Общее решение системы
[pic 21]
Находим значения производных постоянных, используется начальные условия :[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Частным решением системы
[pic 25]
Ответ:
[pic 26]
8. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд и по членного интегрирования этого ряда.
[pic 27]
Решение:
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по формуле
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Ответ: [pic 33]
10. Дана функция двух переменных. Найти: [pic 34]
1) экстремум функции z(x;y);
2)grad z в точке А(1; –2);
3) наибольшую скорость возрастания функции z(x;y) точке А(1; –2).
Решение: 1) Для отыскания экстремума функции [pic 35]предварительно найдем частные производные первого и второго порядка:
[pic 36]
[pic 37]
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
[pic 38]
Решением системы является точка P(1; 0). Точка P(1; 0) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке P:
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
Из них составим определитель второго порядка
[pic 43]
Так как то в точке есть экстремум. Производная , а, значит, это точка минимума функции.[pic 44][pic 45][pic 46]
2) Градиент функции z в точке A(1;-2):
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Градиент функции z найдем по формуле:
[pic 50]
3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента:
[pic 51]
Ответ: 1) есть экстремум;
2)
[pic 52][pic 53][pic 54]
3) [pic 55]
11. Вычислить массу неоднородной пластинки треугольной формы с вершинами в точках О (0;0) , А (5;0) , В (0;7) , поверхностная плотность которой в точке М (х;у) равна n=4 k=6[pic 56]
Решение:
Изобразим пластинку на плоскости xOy.
[pic 57]
Масса неоднородной пластинки выражается через двойной интеграл по формуле:
[pic 58]
В нашем случае область D - треугольник ОАВ,.[pic 59]
Зададим область D : определим верхнюю границу.[pic 60]
Точки выхода лежат на прямой AB запишем ее уравнение “в отрезках”
a и b – отрезки отсекаемые прямой на осях Ox, Oy – соответственно.
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
Область D задается как решение системы неравенства
[pic 64]
Вычислим массу m , переходя от двойного к повторному интегралу:
...