Контрольная работа по "Математике"

Вариант № 1

№ 1

а) [pic 1] = [pic 2]=  [pic 3] = [pic 4] = 0

б) [pic 5] = [pic 6] =  [pic 7] = [pic 8] = 0

в)  [pic 9]

г) [pic 10]

№ 2

[pic 11] = [pic 12] = [pic 13] =  [pic 14] = 0

№ 3

[pic 15]
Поскольку (c*f(x))' = c*f(x)', то полученную производную, домножим затем на 2. 
Решение: 

[pic 16] 

(4x+3)' = 4 

Ответ: 
[pic 17]
При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: 
(xa)' = axa-1 
(a)' = 0

(f(g(x)))' = f(x)'*g(x)' 
[pic 18]

№ 4

Написать уравнения касательной и нормали к кривой y=sin(3*x)-1 в точке M0 с абсциссой x0 = 0. 
Решение. 
Запишем уравнения касательной в общем виде: 
yk = y0 + y'(x0)(x - x0) 
По условию задачи x0 = 0, тогда y0 = -1 
Теперь найдем производную: 
y' = (sin(3*x)-1)' = 3*cos(3*x) 
следовательно: 
f'(0) = 3*cos(3*0) = 3 
В результате имеем: 
yk = y0 + y'(x0)(x - x0) 
yk = -1 + 3(x - 0) 
или 
yk = 0

№ 5

Представим исходный интеграл, как сумму табличных интегралов: 

[pic 19]
Это табличный интеграл: 
[pic 20]
[pic 21]
Это табличный интеграл: 
[pic 22]
[pic 23]
Это табличный интеграл: 
[pic 24]
[pic 25]

№ 6

[pic 26]
Это табличный интеграл: 
[pic 27]

Вычислим определенный интеграл:

[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]

№ 7

z = x^2*y^3+(x/y) 
Находим частные производные: 
При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным: 
[pic 32]
При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным: 
[pic 33]
Найдем смешанные частные производные: 
Для того, чтобы найти ∂2z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

[pic 34]

№ 8

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = 2*I*8+8+(8/(1+I)) 
Действительная часть числа x. 
x = Re(z) = 12 
Мнимая часть числа y. 
y = Im(z) = 12 
Модуль комплексного числа |z|. 
[pic 35]
Поскольку x > 0, y > 0, то arg(z) находим как: 
[pic 36]
[pic 37]
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 2*I*8+8+(8/(1+I)) 
[pic 38]
2. Находим показательную форму комплексного числа z = 2*I*8+8+(8/(1+I)) 
[pic 39]

№ 9

Исходная матрица имеет вид: 

Составляем систему для определения координат собственных векторов: 
(1 - λ)x1 + 3x2 = 0 
-1x1 + (5 - λ)x2 = 0 
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.