Контрольная работа по "Математике"

дөңгелегінде көпмүшелігінің қанша түбірі бар.

-де келесі бағалау орынды

Басыңқы бөліктің бірлік дөңгелекте нөлдер саны n-ге тең.Сондықтан берілген теңдеудің бірлік дөңгелекте n түбірі бар.

Бірінші ширекте көпмүшелігінің нөлдер санын табыңдар.

Бірінші ширек бойынын аргументтің өсімшесін табыңдар. Көпмүшеліктердің бардлық нөлдері дөңгелегінің ішінде жатқандықтан, секторына түсетін нөлдер санын тапсақ жеткілікті.

Жорамал жарты ось бойындағы аргумент өсімшесі.Алдыңғы мысалда көрсетілген кестеден аргумент өсімшесі ден аспайды.

Сектор шекарасының бөлігін көрсететін доға бойындағы аргумент өсімшесі -ге тең.Алдыңғы мысалдың шешімін қара.

Нақты жарты осьтің бойындағы аргумент өсімшесін табу ғана қалды. Берілген көпмүшелік оң мәндерінде тек оң мән қабылдайды. Демек, өсімшесі болмайды,яғни көпмүшеліктің бір ғана нөлі.

Жауабы: бірінші ширекте берілген көпмүшеліктің жалғыз нөлі бар.

көпмүшелігінің оң жартыжазықтығында қанша нөлдері бар.

Аргумент принципін қолданамыз.Ол үшін, жорамал ось бойындағы көпмүшелік аргументінің өсімшесі мен радиусы жеткілікті үлкен жартышеңбер бойындағы өсімшені есептеу керек.

Жорамал ось бойындағы аргумент өсімшесі.

Бізге жақшада жазылған өрнектің жорамал және нақты бөліктерінің нөлдері қажет болады.

Таблицада нақты және жорамал бөліктерінің таңбасының өзгерістері көрсетілген.

+ - + +

- - - +

Четверть 4 3 4 1

+ + - +

- + + +

Четверть

4 1 2 1

тен дейін өзгергенде, векторы бірінші ширектен төртінші ширекке көшеді. Яғни, нөл мен аралығындағы мәндерді қабылдайды.

Аргументтің жартышеңбер бойындағы өсімшесі. болсын.

екендігін байқаймыз.

Бұдан, өсімше

Жартышеңберден және жорамал остің вертикаль кесіндісінен тұратынтұйық контурдың өсімшесі -ден -ге дейінгі мәндерді қабылдай алады. Бірақ, 2π-ге бөлінетін аргументтің тұйық контур бойынша өсімшесі бүтін сан болуы қажет. Біздің жағдайда ол сан 2-ге тең. Сонымен, аргумент принципі бойынша,бастапқы көпмүшеліктердің оң жартыжазықтықта нөлдер саны 2-ге тең.

Руше теоремасын пайдаланып, теңдеуінің |z|<1 дөңгелек ішіндегі түбірлер санын анықтаңдар

⏟(z^7+z^2-2)┬(бағыныңқы бөлігі)+⏟(5z^4 )┬(басыңқы бөлігі)=0

де бағыныңқы бөліктің модулі төрттен аспайтындықтан, ал басыңқы бөліктің модулі бестен кіші емес болғандықтан. Басқаша айтқанда, бірлік шеңберінде бағыныңқы бөліктің модулі басыңқы бөлігінің модулінен кіші. Бірлік шеңберде басыңқы бөлігінің төрт нөлдік нүктесі бар. Сондықтан, Руше теоремасы бойынша,бастапқы теңдеудің де бірлік шеңберде төрт түбірі бар.

Руше теоремасын пайдаланып, дөңгелегінің ішінде жататын теңдеуінің түбірлерін тап.

⏟(z^9-2z^6+z^2 )┬(бағыныңқы бөлігі)-〖⏟(8z-2)=0〗┬(басыңқы бөлігі)

де бағыныңқы бөліктің модулі төрттен аспайтындықтан, ал басыңқы бөліктің модулі алтыдан кіші емес болғандықтан. Басқаша айтқанда, бірлік шеңберінде бағыныңқы бөліктің модулі басыңқы бөлігінің модулінен кіші. Бірлік шеңберде басыңқы