Контрольная работа по "Математике"
Автор: tanusha_pa • Февраль 6, 2019 • Контрольная работа • 719 Слов (3 Страниц) • 317 Просмотры
Задание 1. Найти неопределенные интегралы (в результаты в случаях а), б), в) проверить дифференцированием).
1.23. а) [pic 1] б) [pic 2] в) [pic 3]
г) [pic 4] д) [pic 5]
Решение:
[pic 6]
Проверка:
[pic 7]
б) [pic 8]
Дважды воспользуемся формулой интегрирования по частям: [pic 9]
[pic 10]Проверка:
[pic 11]
в) [pic 12]
Занесем под знак дифференциала функцию [pic 13] и воспользуемся свойствами дифференциала, получим: [pic 14]
Тогда:
[pic 15]
Проверка:
[pic 16]
г) [pic 17]
Замена: [pic 18]
тогда
[pic 19]
Вернемся к исходной переменной:
[pic 20]
д) [pic 21]
Так как степень числителя и знаменателя отличается на единицу, то выделим в числителе подинтегральной функции слагаемое, равное производной знаменателя.
[pic 22]
[pic 23]
Тогда:
[pic 24]
где [pic 25]
Вычислим [pic 26] и [pic 27]:
[pic 28]
[pic 29]
Следовательно:
[pic 30]
Ответ:
[pic 31] [pic 32] [pic 33]
[pic 34] [pic 35]
Задание 2. Вычислить определенный интеграл.
2.23. [pic 36]
Решение:
Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:
[pic 37]
где [pic 38]
[pic 39]
Ответ: 0,58779.
Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения.
3.23. [pic 40]
Решение:
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно [pic 41].
Решение будем искать в виде произведения двух функции: [pic 42], где [pic 43] и [pic 44] – неизвестные функции от переменной [pic 45]. Тогда [pic 46]
Подставив [pic 47] и [pic 48] в исходное уравнение, получим
[pic 49]
Функцию [pic 50] найдем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:
[pic 51]
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решив его, получим частное решение уравнения:
[pic 52]
Подставим найденную функцию в уравнение (1):
[pic 53]
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решив его, получим общее решение уравнения:
[pic 54]
Тогда общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
[pic 55].
Ответ: [pic 56] – общее решение.
Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
4.23. [pic 57]
Решение:
Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде:
[pic 58]
где [pic 59] – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, [pic 60] – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: [pic 61]
Составим и решим характеристическое уравнение: [pic 62] [pic 63]
Общее решение имеет вид: [pic 64] где [pic 65]
Рассмотрим правую часть исходного уравнения: [pic 66]
Значит частное решение [pic 67] будет иметь вид: [pic 68] – неизвестные коэффициенты.
Вычислим [pic 69], и подставим их в неоднородное уравнение:
[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Таким образом: [pic 73]
Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
[pic 74]
...