Контрольная работа по "Математике"

ВАРИАНТ №6

Содержание

Задание №1. Вычислить пределы:        3

Задание №2. Найти производные функций:        4

Задание№3. Исследовать функцию и построить график:        5

Задание №4. Найти экстремумы функций двух переменных        8

Задание № 5. Найти неопределенные интегралы:        10

Задание № 6. Найти определенные интегралы:        11

Задание № 7. Выполнить чертеж и решить задачу:        12

Задание № 8. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:        13

Заданное уравнение является уравнением Бернулли.        13

Разделим всё уравнение на        13

Задание № 9. Решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:        14

Задание №1. Вычислить пределы:

а) [pic 1];

[pic 2] 

б) [pic 3];

[pic 4] 

Здесь воспользовались первым замечательным пределом

[pic 5]

в) [pic 6] 

умножим и разделим выражение на [pic 7], чтобы получить разность квадратов в знаменателе:

[pic 8] 

Задание №2. Найти производные функций:

а) [pic 9];

[pic 10] 

б) [pic 11].

Используем правило дифференцирования сложной функции

[pic 12] 

Задание№3. Исследовать функцию и построить график:

 [pic 13]

1)

Область определения.

Т.к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, ОДЗ:

[pic 14] 

[pic 15] 

[pic 16]

[pic 17] - вертикальная асимптота

2)

Точки пересечения с осями координат:

[pic 18], точка [pic 19] 

[pic 20], точка уже найдена

3)

Четность/нечетность

[pic 21]- функция общего вида

4)

Экстремумы и монотонность. Найдем первую производную:

[pic 22]

Критические точки

[pic 23]

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

[pic 24]

Функция возрастает на интервалах [pic 25], убывает - [pic 26] 

[pic 27] - точка минимума

5)

Выпуклость и точки перегиба. найдем вторую производную:

[pic 28]

Нули:

[pic 29]

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

[pic 30]

Функция выпукла вниз на интервалах [pic 31], вверх - [pic 32] 

[pic 33] - точка перегиба

6)

Наклонные асимптоты вида [pic 34]:

 [pic 35]

Наклонных асимптот нет

7)

График функции

[pic 36]

Зеленым изображена асимптота

Задание №4. Найти экстремумы функций двух переменных

z = x2у – [pic 37]у3 + 2х2 + 3у2 – 1.

Найдем критические точки – где обе первые производные равны нулю:

[pic 38] 

[pic 39]

Исследуем найденные точки на экстремум при помощи вторых производных

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Т.к. [pic 43], точка [pic 44]- точка локального минимума

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Т.к. [pic 48] в точке [pic 49]экстремума нет

[pic 50]

[pic 51]

Т.к. [pic 52] в точке [pic 53]экстремума нет

[pic 54]

[pic 55]

Т.к. [pic 56] в точке [pic 57]экстремума нет

Задание № 5. Найти неопределенные интегралы: