Контрольная работа по "Математике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

Вариант № 5

Направление «Менеджмент»

Группа Мен-318 Курс 1

Выполнил Кузнецова А.В

Проверил______________

Санкт-Петербург

2018

Задание 1

Вычислить пределы:

lim┬(x→1)⁡〖〖((x^2+3x-3)/(1-x-x^2 ))=(1^2+3×1×(-3))/(1-1-1^2 )=-1;〗^ 〗

Ответ: lim┬(x→1)⁡〖〖((x^2+3x-3)/(1-x-x^2 ))=-1;〗^ 〗

b)lim┬(x→∞)⁡〖(〖3x〗^2-2x^2-x)/(4x-x^3 )〗=(3-2/x-1/x^2 )/(4/x^2 -1);

делаем замену u=1/x,

тогда

lim┬(x→∞)⁡〖(3-2/x-1/x^2 )/(4/x^2 -1)〗=lim┬(u→0)⁡〖(3-2u-u^2)/(4u^2-1)=(3-0-0)/(4×0^2-1)=3/(-1)=-3.〗

Ответ: lim┬(x→∞)⁡〖(〖3x〗^2-2x^2-x)/(4x-x^3 )〗=-3

Задание 2

Продифференцировать указанные функции:

y=x^3/3-x^2-sin x/2+tg2x

y^'=(x^3/3)^'-(x^2 )^'- (sin⁡〖x/2〗 )^'+(tg2x)'

y^'=((x^3 )^'×3-x^3×(3)')/3-2x-(sin(x/2) )^'×(x/2)^'+(tg(2x) )'×(2×x)'

y=(3x^2-x^3×0)/3-2x-cos x/2×1/2+2/(cos⁡〖(2x)〗^2 )=x^2-2x-1/2 cos x/2+2/(cos⁡(〖2x)〗^2 ).

y=tgx(x^3-x+2)

y^'=(tgx)^'×(x^3-x+2)+(x^3-x+2)^'×tgx=1/(〖cos〗^2 x)×(x^3-x+2)+

+((x^3 )^'-(x)^'+(2)^' )×tgx

y=((x^3-x+2))/(〖cos〗^2 x)+(〖3x〗^2-1+0)tgx=((x^3-x+2))/(〖cos〗^2 x)+(〖3x〗^2-1)tgx.

Задание 3

Найти неопределенные интегралы:

∫▒〖sin⁡(3x-2)dx〗

делаем замену переменных

u=3x-2,dx=du

∫▒〖1/3 sin⁡(u)du=1/3 ∫▒〖sin⁡(u)du=-1/3 cos⁡(u)=-1/3 cos⁡〖(3x-2)+C.〗 〗〗

b)∫▒〖(√x-x+2)/∛x dx=(x^(1/2)-x+2)/x^(1/3) 〗 dx

делаем замену переменных

x=t^6,dx=6t^5 dt

∫▒(-t^6+t^3+2)/t^2 ×6t^5 dt=∫▒〖6t^3×(-t^6+t^3+2) 〗 dt=6∫▒█(t^3 (-t^6+t^3+2)dt=@)

=6∫▒〖-t^9+t^6+2×t^3 dt〗=6∫▒〖-t^9 dt+〗 6∫▒〖t^6 dt+〗 6∫▒〖2t^3 dt=〗

=-3/5 t^10+6∫▒〖t^6 dt+6∫▒〖2t^3 dt=-3/5 t^10+6/7 t^7+12∫▒〖t^3 dt=〗〗〗-3/5 t^10+6/7 t^7+3t^4+C

Подставляем вместо t =x^(1/6)

I=6×x^(6/7)/7-3×x^(5/3)/5+3x^(2/3)+C.

Задание 4

Решить систему уравнений:

Методом Крамера

{█(x+3y+z=10@-3x-y+2z=1@4x+y-z=3)┤

Решение:

x_i=∆_i/∆

А=(( 1)¦█(-3@ 4) ( 3)¦█(-1@ 1) ( 1)¦█( 2@-1))

∆=|( 1)¦█(-3@ 4) ( 3)¦█(-1@ 1) ( 1)¦█( 2@-1)|=1×(-1)×(-1)+3×2×4+(-3)×1×1-4×(-1)×1-

-(-3)×3×(-1)-1×2×1=15

∆=15≠0 , следовательно система является определенной и может быть решена методом Крамера. Для нахождения ее