Контрольная работа по "Математике"

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дисциплина «Математика»

Вариант 3

Выполнил студент 

Группа: гр.ОП(б)зуд-61

Курс ___

Номер зачетной книжки

160014193

ФИО  Афонькин Владимир Александрович

Проверил ______________________

Хабаровск 2017 г.

Задание 3

Даны матрицы A и B. Найдите те произведения A · B и B · A, которые существуют.

[pic 1]

c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 = 4 · 2 + 0 · (-1) + (-4) · 3 = 8 - 0 - 12 = -4
c12 = a11 · b12 + a12 · b22 + a13 · b32 = 4 · 5 + 0 · 1 + (-4) · (-2) = 20 + 0 + 8 = 28
c21 = a21 · b11 + a22 · b21 + a23 · b31 = 3 · 2 + 2 · (-1) + 1 · 3 = 6 - 2 + 3 = 7
c22 = a21 · b12 + a22 · b22 + a23 · b32 = 3 · 5 + 2 · 1 + 1 · (-2) = 15 + 2 - 2 = 15
c31 = a31 · b11 + a32 · b21 + a33 · b31 = (-2) · 2 + 1 · (-1) + (-1) · 3 = (-4) - 1 - 3 = -8
c32 = a31 · b12 + a32 · b22 + a33 · b32 = (-2) · 5 + 1 · 1 + (-1) · (-2) = (-10) + 1 + 2 = -7

Матрица B · A не существует

Задание 13

Решите систему линейных уравнений тремя способами: а) методом Крамера; 3 б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления.

[pic 2]

А)Метод Крамера

[pic 3][pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Б)Матричный метод

[pic 8]

В)Метод Гауса

[pic 9]

Задание 23

Даны вершины пирамиды A1A2A3A4. Найдите: а) длину ребра A1A2; б) угол между ребрами A1A2 и A1A3; в) площадь грани A1A2A3; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой A1A2; е) уравнение плоскости A1A2A3.

A1(3, 2, 1), A2(−1, 1, 0), A3(4, −2, 3), A4(2, −3, 5)

Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -1-3; Y = 1-2; Z = 0-1
A1A2(-4;-1;-1)
A1A3(1;-4;2)
A1A4(-1;-5;4)
A2A3(5;-3;3)
A2A4(3;-4;5)
A3A4(-2;-1;2)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
а)Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
[pic 10]
[pic 11]

б)Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
[pic 12]
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(-4;-1;-1) и A1A3(1;-4;2):
[pic 13]
γ = arccos(0.103) = 96
в)Площадь грани
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
[pic 14]
Векторное произведение:

= i((-1) • 2-(-4) • (-1)) - j((-4) • 2-1 • (-1)) + k((-4) • (-4)-1 • (-1)) = -6i + 7j + 17k

г)Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим определитель матрицы
∆ = (-4) • ((-4) • 4-(-5) • 2)-1 • ((-1) • 4-(-5) • (-1))+(-1) • ((-1) • 2-(-4) • (-1)) = 39
д) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
[pic 18]
Уравнение прямой A1A2(-4,-1,-1)
[pic 19]
е) Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: