Контрольная работа по "Математике"

1.1. Даны вершины треугольника А(2; -5), В(-7; 7), С(-6; -11). Найти:

а) длину сторон АВ и АС;

б) внутренний угол при вершине А;

в) уравнение стороны ВС;

г) уравнение высоты АН;

д) уравнение медианы СМ;

е) систему неравенств, определяющих треугольник.

1.2. Решение задачи №1:

Положим А(xА;yA) = А(2; -5), B(xB;yB) = B(-7;7), С(xC;yC) = C(-6;-11).

а) Найдем длины сторон АВ и АС:

|AB| = √(〖(x_B-x_A)〗^2+〖(y_B-y_A)〗^2 ) = √(〖(-5-2)〗^2+〖(7-(-5))〗^2 ) = √(〖〖(-9)〗^2+12〗^2 ) = √(81+144 ) = √(225 )= 15;

|AC| = √(〖(x_C-x_A)〗^2+〖(y_C-y_A)〗^2 ) = √(〖(-6-3)〗^2+〖(-11-(-5))〗^2 ) = √(〖〖(-8)〗^2+(-6)〗^2 ) = √(64+36 ) = √(100 )= 10;

б) Найдем внутренний угол при вершине А:

AB = (-9; 12),

AC = (-8; -6),

cos⁡〖∠A= (〖|AB|〗^2+〖|AC|〗^2-〖|BC|〗^2 )/(2×|AB|×|AC|)=〗 (〖15〗^2+〖10〗^2-〖(5√13)〗^2 )/(2×15×10)

= (225+100-325 )/300=0/300 0,

〖 〗⁡〖∠A=arccos⁡〖0=π/2=(π/2×180/π)〗 〗°=90°;

в) Найдем уравнение стороны BC:

(x-(-7))/(-6-(-7))= (y-7)/(-11-7),

(x+7)/1= (y-7)/(-18)

18x+7y+119=0

г) Найдем уравнение высоты AH:

АН:(x-2)/(-11-7)=(y-(-5))/(-7-(-6))=(x-2)/(-18)=(y+5)/(-1)=x-18y-92=0,

д) Найдем уравнение медианы CM:

Найдем точку М – середина AB:

(2+(-7))/2=-2.5,

(-5+7)/2=1

Уравнение медианы CM:

(x-(-6))/(-2.5-(-6) )=(y-(-11))/(1-(-11))=(x+6)/3.5=(y+11)/12,

24x-7y+67=0

е) Найдем систему неравенств, определяющих треугольник:

Уравнение сторон:

AB= (x-2)/(-7-2)=(y-(-5))/(7-(-5) )⇔ (x-2)/(-9)=(y+5)/(-9)⇔4x+3y+7=0,

AC= (x-2)/(-6-2)=(y-(-5))/(-11-(-5) )⇔ (x-2)/(-8)=(y+5)/(-6)⇔3x-4y-26=0,

BC= (x-(-7))/(-6-(-7))=(y-7)/(-11-7)⇔ (x+7)/1=(y-7)/(-18)⇔18x+y+119=0;

C (-6; -11) AB: 4×(-6)+3×(-11)+7=-50<0,

B (-7;7) AC:3×(-7)+(-4)×7+(-26)=-75<0,

A (2; -5) BC:18×2+1×(-5)+119=150>0;

{█(4x+3y+7≤0@3x-4y-26≤0@18x+y+119≥0)┤

1.3. Ответ на задачу №1:

а) |AB| = 15; |AC| = 10;

б) ∠A=90°;

в)18x+7y+119=0;

г) x-18y-92=0;

д) 24x-7y+67=0;

е){█(4x+3y+7≤0@3x-4y-26≤0@18x+y+119≥0)┤

Задача №2:

2.1. Даны вершины пирамиды А(3; 2; -2), В(2; 2; 0), С(4; 3; -2), D(6; -8, 8). Найти:

а) угол между ребрами АВ и АС;

б) площадь грани АBC;

в) объем тетраэдра AВСD;

г) уравнение плоскости АBC;

д) угол между ребром AD и гранью ABC;

е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

2.2. Решение задачи №2:

а) Найдем угол между ребрами AB и AC:

|¯AB|=√((2-3)^2+(2-2)^2+(0-(-2) )^2 )=√((-1)^2+0^2+2^2 )=√(1+0+4)=√5=2,236;

|¯AC|=√((4-3)^2+(3-2)^2+(-2-(-2))^2 )=√(1^2+1^2+0^2 )=√(1+1+0)=√2=1,414;

б) Найдем площадь грани ABC:

〖 S〗_ABC= 1/2 √(█(|█(2-2 0-(-2)@3-2 -2-(-2))|^2+|█(2-3 0-(-2)@4-3 -2-(-2))|^2+ @|█(2-3 2-2@4-3 3-2)|^2 ))=

1/2 √(█(|■( 0&2@1&0)|^2+|■(-1&2@ 1&0)|^2+|■(-1&0@1&1)|^2 ))= 1/2 √((-2)^2+(-2)^2+〖(-1)〗^2 )=

1/2 √(4+4+1)=3/2=1,5;

в) Найдем объем тетраэдра ABCD:

V=1/6 |■(2-3&2-2&0-(-2)@4-3&3-2&-2-(-2)@6-3&-8-2&8-(-2))|=1/6 |■(-1&0&2@1&1&0@3&-10&10)|=

1/6 |((-1) ×|■(1&1@-10&10)|+0×|■(1&0@3&10)|+2×|■(1&1@3&-10)| )|=

1/6 |■((-1)×10-0×10+2-(-13))|=

1/6 |■(-10-26)|= 1/6 |■(-36)|=6;

г) Найдем уравнение плоскости ABC:

D:ABC∶ 2×(x-6)+(-2)×(y-(-8) )+1×(z-8)=0

=>2x-2y+z-36=0;

д) Найдем угол между ребром AD и гранью ABC:

∠(AD,ABC)=