Контрольная работа по "Математике"

Образовательное учреждение высшего образования

«Южно-Уральский институт управления и экономики»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

НАПРАВЛЕНИЕ/СПЕЦИАЛЬНОСТЬ

21.03.02 «Землеустройство и кадастры»

Выполнила: Васильева Ольга Сергеевна

Группа: ЗЗу-101

Проверил преподаватель: Мухин В.В.

Результат проверки_________________

Челябинск, 2017 г.

Раздел 1 «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» …………...3

Раздел 2 «Математический анализ»…………………………………………………….7

ВАРИАНТ №5

Раздел 1 «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии»

Задание №1 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

[pic 1] 

Решение:

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса:

[pic 2]

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1

[pic 3]

2-ую строку делим на 3

[pic 4]

к 1 строке добавляем 2 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2

[pic 5]

3-ую строку делим на 5/3

[pic 6]

от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 2/3; к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1/3

[pic 7]

Ответ: [pic 8]

Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:

4 – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3

2·4 + 2 + 1 = 8 + 2 +1= 11

4 + 2 + 2·1 = 4 + 2 + 2 = 8

Задание №2 Найти матрицу С, если:  С=2АТВ-ВАТ,  А=[pic 9],    В= [pic 10].

Решение:

[pic 11],

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Задание №3  На плоскости даны три точки А, В, С. Найти методами векторной алгебры: А (1,3);   В (-2,2);   С (-3,-5).

• длину стороны АВ;

AB =[pic 16]

• общие уравнение сторон АВ и ВС и угловые коэффициенты этих прямых;

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Угловой коэффициент прямой АВ равен Кав=1/3

[pic 22] 

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Угловой коэффициент прямой АВ равен Кав=7/5

• косинус внутреннего угла при вершине В;

[pic 28]

Применив теорему косинусов, найдем искомый угол:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

• уравнение медианы АЕ;

Е середина ВС, т.е координата:

[pic 34]

[pic 35]

Уравнение медианы АЕ найдем . используя формулу для уравнения прямой проходящей через две заданные точки. Медиана АЕ проходит через точки А (1;3), Е (-5/2;-3/2)

Коническое уравнение прямой:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

• уравнение и длину высоты СD;

Уравнение высоты будем находить по формуле прямой проходящей через заданную точку С(-3;-5) в заданном направлении - перпендикулярно прямой AB по формуле y−y0=k (x−x0). Найдем угловой коэффициент высоты k CD воспользовавшись свойством перпендикулярных прямых k1=−1/k2получим

[pic 40]

Подставляем в уравнение прямой, получаем

[pic 41]

Длину высоты будем искать как расстояние от точки С(-3;-5) до прямой AB по формуле

[pic 42]

в числителе уравнение прямой AB, приведем его к этому виду y=1/3x+8/3=>x-3y+8=0, подставляем полученное уравнение и координаты точки в формулу

[pic 43][pic 44]

• уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ;

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. kAB=ke=1/3, также известны координаты точки E(-5/2;-3/2), т.е. для нахождения уравнения прямой применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении y−y0=k(x−x0), подставляем данные и получаем