Задачи по "Высшей математике"

Задание № 1

Написать уравнения касательной и нормали к кривой y=sqrt(x+4) в точке M0 с абсциссой x0 = 0. 
Решение. 
Запишем уравнения касательной в общем виде: 
yk = y0 + y'(x0)(x - x0) 
По условию задачи x0 = 0, тогда y0 = 2 
Теперь найдем производную: 
[pic 1]
следовательно: 
f'(0) = 1/(2*sqrt(0+4)) = 1/4 
В результате имеем: 
yk = y0 + y'(x0)(x - x0) 
yk = 2 + 1/4(x - 0) 
или 
xk = 0 

Запишем уравнения нормали в общем виде: 
[pic 2]
В результате имеем: 
[pic 3]
или 
yn = -4*x+2

Задание № 2

y = x^7-x^6
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = 7x6-6x5
или
y' = x5(7x-6)
Приравниваем ее к нулю:
7x6-6x5 = 0
x1 = 0
[pic 4]
Вычисляем значения функции 
f(0) = 0
[pic 5]
Ответ:
[pic 6]
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 42x5-30x4
или
y'' = x4(42x-30)
Вычисляем:
y''(0) = 0=0 - значит точка x = 0 точка перегиба функции.
[pic 7]
значит эта точка - минимума функции.

Задание № 3

Для вписанного в окружность прямоугольника (сечение балки) (b/2)^2+(h/2)^2=R^2=75

h^2=4(75-(b^2)/4)=300-b^2

Обозначим прочность балки P.

P=kbh^2

k- коэффициент пропорциональности

P=kb(300-b^2)=k(300b-b^3)

Найдём производную функции и приравняем её нулю (необходимое условие экстремума)

P`=k(300-3b^2)=0

b^2=100

b=10

h^2=300-100=200

h=10*корень(2)

Докажем, что это точка максимума.

Вторая производная P``=-6kb меньше 0

(естественно, при положительных k и b)

Функция выпуклая.

Максимальная прочность при таких размерах

P max=k*10*200=20 00k

Задание № 4

1) Область определения функции. Точки разрыва функции. 
2) Четность или нечетность функции. 
[pic 8]
Функция общего вида 
3) Периодичность функции. 
4) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y 
Нет пересечений. 
Пересечение с осью 0X 
y=0 
[pic 9]
x1=0, x2=1 
5) Исследование на экстремум. 
y = ln(x)*(x^2/(x^2+1)) 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 

или 
[pic 10]
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 
x(x2+2ln(x)+1) = 0 
Откуда: 
x1 = 0 
x2 = 0.5277