Контрольная работа по "Эконометрике"

1. Решить задачу линейного программирования графическим методом.

[pic 1]
[pic 2]

Решение:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств.

1. Обозначим ограничения [pic 3][pic 4] и [pic 5][pic 6]

[pic 7]

2. Границей неравенства [pic 8][pic 9] является прямая  [pic 10][pic 11], построим ее по двум точкам:

Произвольная точка (0; 0) не удовлетворяет неравенству
[pic 12][pic 13], поэтому областью решения неравенства являются точки, лежащие выше прямой [pic 14][pic 15]. Объединим полученную полуплоскость с ограничениями [pic 16][pic 17]Область решения обозначим штриховкой.

[pic 18]

3. Границей неравенства [pic 19][pic 20]  является прямая  [pic 21][pic 22], построим ее по двум точкам:

Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству
[pic 23][pic 24], поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой [pic 25][pic 26]. Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.

[pic 27]

4. Границей неравенства [pic 28][pic 29]является прямая
[pic 30][pic 31], построим ее по двум точкам:

Произвольная точка (0; 0) не удовлетворяет неравенству
[pic 32][pic 33], поэтому область решения неравенства будут точки, лежащие выше прямой [pic 34][pic 35]. Объединим полученную полуплоскость с раннее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.

[pic 36]

5. Общая часть всех полуплоскостей область АВСDE является областью решений системы линейных неравенств.

[pic 37]

6. Строим вектор-градиент целевой функции [pic 38][pic 39]:

[pic 40]

(координаты вектора-градиента – частные производные функции ).

Проводим линию линейной функции перпендикулярно вектору-градиенту.

Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором[pic 41][pic 42]

[pic 43]

Максимального значения функция достигает в точке: [pic 44][pic 45].

Для отыскания точки, соответствующей минимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, обратном указанному вектором [pic 46][pic 47]

Так как линия цели параллельна прямой [pic 48][pic 49], то минимального значения функция достигает в двух точках: [pic 50][pic 51]  [pic 52][pic 53]

7. Точка A является точкой пересечения прямых
[pic 54][pic 55] 

Точка C является точкой пересечения прямых
[pic 56][pic 57] 

Точка F является точкой пересечения прямых
[pic 58][pic 59] 

Вычисляем координаты точек A, С, F, решая соответствующие системы уравнений:

Точка А:

[pic 60]
[pic 61]

Точка C:

[pic 62]
[pic 63]

Точка F:

[pic 64]
[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

2.  Предприятие выпускает 3 вида продукции А1, А2, А3 и использует 3  вида сырья В1, В2, В3.

В таблице приведены запасы каждого вида сырья, нормы расхода сырья на единицу каждого вида продукции, а также прибыль от реализации единицы каждого вида продукции.