Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача 1. Найти свертку последовательностей X(n) и Y(n):

1. Найдем свертку последовательностей X(n) и Y(n) с помощью прямого вычисления:

        n
Z(n) = ( X(k)Y(n-k)
      k=0
Z(0) = X(0)Y(0) = 4·1 = 4
Z(1) = X(0)Y(1) + X(1)Y(0) = 4·1+3·1 = 7
Z(2) = X(0)Y(2) + X(1)Y(1) + X(2)Y(0) = 4·0+3·1+2·1 = 5
Z(3) = X(0)Y(3) + X(1)Y(2) + X(2)Y(1) + X(3)Y(0) =

     = 4·0+3·0+2·1+1·1 = 3
Z(4) = X(0)Y(4) + X(1)Y(3) + X(2)Y(2) + X(3)Y(1) +

     + X(4)Y(0) = 4·1+3·0+2·0+1·1+2·1 = 7
Z(5) = X(0)Y(5) + X(1)Y(4) + X(2)Y(3) + X(3)Y(2) +

     + X(4)Y(1) + X(5)Y(0) = 4·2+3·1+2·0+1·0+2·1+2·1 = 15
Z(6) = X(0)Y(6) + X(1)Y(5) + X(2)Y(4) + X(3)Y(3) +

     + X(4)Y(2) + X(5)Y(1) + X(6)Y(0) =

     = 4·3+3·2+2·1+1·0+2·0+2·1+3·1 = 25
Z(7) = X(1)Y(6) + X(2)Y(5) + X(3)Y(4) + X(4)Y(3) +

     + X(5)Y(2) + X(6)Y(1) =
 

  = 3·3+2·2+1·1+2·0+2·0+3·1 = 17
Z(8) = X(2)Y(6) + X(3)Y(5) + X(4)Y(4) + X(5)Y(3) +

     + X(6)Y(2) = 2·3+1·2+2·1+2·0+3·0 = 10
Z(9) = X(3)Y(6) + X(4)Y(5) + X(5)Y(4) + X(6)Y(3) =
   

 = 1·3+2·2+2·1+3·0 = 9
Z(10) = X(4)Y(6) + X(5)Y(5) + X(6)Y(4) =

      = 2·3+2·2+3·1 = 13
Z(11) = X(5)Y(6) + X(6)Y(5) = 2·3+3·2 = 12
Z(12) = X(6)Y(6)= 3·3 = 9
Z(13) = Z(14) = ... = 0

2. Найдем свертку последовательностей X(n) и Y(n) с использованием z-преобразования:

X(n) =4((n)+3((n-1)+2((n-2)+((n-3)+2((n-4)+2((n-5)+3((n-6)
Y(n) = ((n)+((n-1)+((n-4)+2((n-5)+3((n-6)
Проделаем z-преобразование
X(z) = 4+3z-1+2z-2+z-3+2z-4+2z-5+3z-6
Y(z) = z-1+z-4+2z-5+3z-6
Тогда Z(z) = X(z)Y(z) =
= ( 4+3z-1+2z-2+z-3+2z-4+2z-5+3z-6 )·( 1+z-1+z-4+2z-5+3z-6 ) =
= 4+7z-1+5z-2+3z-3+7z-4+15z-5+25z-6+17z-7+10z-8+9z-9+13z-10+
+12z-11+9z-12
Проделаем обратное z-преобразование
Z(n) = 4((n)+7((n-1)+5((n-2)+3((n-3)+7((n-4)