Умножения и сложения вероятностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

 КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

КЫРГЫЗСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им.М.РЫСКУЛБЕКОВА

КОЛЛЕДЖ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

Реферат

по дисциплине: «Теория вероятности и математическая статистика»

на тему: «Умножения и сложения вероятностей»

Выполнил: студент 3-го курса

Группы: ПИ-1-17

Куштарбеков Кылымбек Куштарбекович

Руководитель:

Токтобай кызы Касиет

Бишкек-2018

[pic 1]. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий [pic 2] равна сумме вероятностей этих событий

[pic 3](2.1)

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий [pic 4] и [pic 5].

Пусть событию [pic 6] благоприятствуют [pic 7] элементарных исходов, а событию [pic 8] исходов. Так как события [pic 9] и [pic 10]по условию теоремы несовместны, то событию [pic 11] благоприятствуют [pic 12] элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,

[pic 13],

где [pic 14] — вероятность события [pic 15]; [pic 16] — вероятность события [pic 17].

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: [pic 18]. Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет

P(А1+А2) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Условная вероятность

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.

Вероятность события [pic 19], вычисленная при условии, что имело место другое событие [pic 20], называется условной вероятностью события [pic 21]и обозначается [pic 22].

В тех случаях, когда вероятность события [pic 23] рассматривается при условии, что произошло два других события [pic 24], используется условная вероятность относительно произведения событий [pic 25]

[pic 26].

Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)

Доказательство. Предположим, что из [pic 27] всевозможных элементарных исходов событию [pic 28] благоприятствуют [pic 29]исходов, из которых [pic 30] исходов благоприятствуют событию [pic 31]. Тогда вероятность события [pic 32] будет [pic 33], условная вероятность события [pic 34] относительно события [pic 35] будет [pic 36].

Произведению событий [pic 37] и [pic 38] благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию [pic 39] и событию [pic 40]одновременно, т.е. [pic 41] исходов. Поэтому вероятность произведения событий [pic 42] и [pic 43]равна

[pic 44].

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на [pic 45]. Получим

[pic 46].

Аналогично доказывается и формула

[pic 47].

Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.