Численное решение интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода

Кунгуров М. С., М8О-405Б-21

Оглавление

Введение        3

Интегральные уравнения        3

Методы решения        4

Метод квадратур        4

Метод простой итерации        6

Компьютерная реализация на Python        8

Результаты        9

Вывод        11

Список литературы        13

ПРИЛОЖЕНИЕ А        14

Введение

Интегральные уравнения занимают важное место в математическом моделировании процессов и явлений в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач физики, теории упругости, теории потенциала, электротехники и других областей, где необходимо учитывать распределённые взаимодействия и граничные условия. Среди интегральных уравнений особый интерес представляют интегральные уравнения второго рода.

Точные аналитические решения таких уравнений доступны лишь для ограниченного числа случаев, поэтому разработка эффективных численных методов является актуальной задачей. Численные методы позволяют получить приближённые решения интегральных уравнений с требуемой точностью, что делает их применимыми для практических расчётов.

В данной работе рассматриваются численные методы решения интегральных уравнений второго рода, такие как метод квадратур и метод простой итерации. Особое внимание уделяется анализу устойчивости и точности получаемых решений, а также сравнению различных методов на конкретных примерах.

Цель работы: реализация численных методов для решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода, а также оценка их эффективности для различных типов задач.

Интегральные уравнения

Линейное интегральное уравнение вида

называют интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода. Здесь y(x) — неизвестная функция, K(x, s) — ядро интегрального уравнения, f(x) — свободный член (правая часть) интегрального уравнения. Однородное уравнение (при f ≡ 0) имеет только тривиальное решение, а условия существования решения неоднородного уравнения связаны с различными ограничениями на ядро K(x, s) и правую часть f(x) В частности, решение существует и единственно в классе непрерывных на отрезке [a, b] функций, если ядро непрерывно внутри треугольника, ограниченного прямыми s = a, x  = b, x = s, а функция f(x) непрерывна на [a, b].

Частный случай линейного уравнения (1), имеющий важное самостоятельное значение, возникает для ядер, удовлетворяющих условию

такие ядра называют ядрами.

Соответственно уравнения вида

называют уравнениями Вольтерра 2-го рода. К линейным уравнениям Вольтерра 2-го рода приводит, например, решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений.

Методы решения

Метод квадратур

При численном решении интегральных уравнений входящие в них интегралы обычно заменяют конечными суммами. Согласно методу квадратур, интегральные операторы заменяют суммами, полученными с помощью различных квадратурных формул.