Элементы теория корреляции. Задачи теории корреляции. Линейная регрессия, ее уравнение. Коэффициент корреляции, его свойства

ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

Инженерно-технический институт

Лабораторная работа №6

Тема: Элементы теория корреляции. Задачи теории корреляции. Линейная регрессия, ее уравнение. Коэффициент корреляции, его свойства.

Выполнил: студент группы 20 НТ

Паламарчук С.С.

Проверил: Николаева Л. С.

г. Тирасполь, 2021г.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Тема: Элементы теория корреляции. Задачи теории корреляции. Линейная регрессия, ее уравнение. Коэффициент корреляции, его свойства.

Цель: 1. Нахождение уравнения прямой линии регрессии.

2. Построение прямой линии регрессии и диаграммы рассеяния.

3. Выяснение значимости выборочного коэффициента корреляции.

        4. Нахождение выборочного коэффициента корреляции.

Краткая теоретическая справка

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других случайных величин. Остановимся на зависимости Y от одной случайной величины X. Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической, либо быть независимыми. Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе величины, или одна из них подвержены действию случайных факторов. В таких случаях возникает статистическая зависимость.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечёт изменение распределения другой. Если при изменении одной из величин, изменяется среднее значение другой, то такая статистическая зависимость называется корреляционной.

Условным средним  называют среднее арифметическое значений Y, соответствующих значению .[pic 1][pic 2]

Корреляционной зависимостью Y(X) называют функциональную зависимость условной средней от x:                (1)[pic 3]

Уравнение (1) называют уравнением регрессии Y на X. Функцию  называют регрессией Y на X, а её график – линией регрессии Y на X.[pic 4]

Условным средним  называют среднее арифметическое значений X, соответствующих   значению .[pic 5][pic 6]

Корреляционной зависимостью X(Y) называют функциональную зависимость условной средней от y:    [pic 7]

Уравнение (2) называют уравнением регрессии X на Y. Функцию  называют регрессией X на Y, а её график – линией регрессии X на Y.[pic 8]

Теория корреляции рассматривает две задачи:

1) установление формы корреляционной связи, то есть вид функции регрессии;

2) оценивание тесноты корреляционных связей.

Регрессия бывает линейной и нелинейной. Если регрессия линейная, то её графиком является прямая линия. Если регрессия  линейная, то регрессия  так же будет линейной.[pic 9][pic 10]

Тесноту корреляционной зависимости оценивают по величине рассеивания значений признака вокруг условного среднего этого признака. Большое рассеяние свидетельствует о слабой зависимости, либо об её отсутствии между рассматриваемыми признаками. Малое рассеивание указывает на наличие достаточно сильной зависимости, вплоть до функциональной.

Пусть изучается система количественных признаков (X, Y ). В результате n независимых опытов получены n пар чисел . Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать уравнение  регрессии Y на X.[pic 11][pic 12]

Поскольку различные значения x признака X и соответствующие им значения y признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так: . Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называется выборочным коэффициентом регрессии Y на X. Обозначим его как . Он является оценкой коэффициента регрессии. Таким образом, выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X будет иметь вид: .[pic 13][pic 14][pic 15]