Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и

линейной алгебры

1.1.10. Найти косинус угла между векторами BА и ВC , если A (-2;0;-2);B (0,2;0) ; C(-1,-2,5) . Сделать чертеж.

Найдем векторы [pic 1]и [pic 2]

[pic 3]  и [pic 4]

[pic 5]и  [pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

2.1.20. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х–2у–8=0 и

3х–2у–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат.

Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж

[pic 9]

О(0,0)- середина АС.

Получаем систему:

[pic 10]

Уравнение АС имеет вид:

[pic 11]

[pic 12]

2.2.20. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

[pic 13]

a) x+3y-5z-2=0;

б) -3х+у+5z-1=0;

в) 5х+3у-z+2=0;

г) x-3y-5z+1=0;

д) х-5у-z-3=0.

Сделать схематический чертеж.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой

[pic 14]

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор  плоскости коллинеарны.

а)Проверим условие перпендикулярности для плоскости x+3y-5z-2=0; [pic 15] [pic 16][pic 17]прямая и плоскость не являются перпендикулярными.

б) Проверим условие перпендикулярности для плоскости -3х+у+5z-1=0; [pic 18]  [pic 19][pic 20]прямая и плоскость  не являются перпендикулярными.

в) Проверим условие перпендикулярности для плоскости 5х+3у-z+2=0;[pic 21] [pic 22][pic 23]прямая и плоскость не  являются перпендикулярными.

г) Проверим условие перпендикулярности для плоскости x-3y-5z+1=0; [pic 24] [pic 25][pic 26]прямая и плоскость не перпендикулярны

д) Проверим условие перпендикулярности для плоскости  х-5у-z-3=0. [pic 27] [pic 28][pic 29]прямая и плоскость не являются перпендикулярными.