Шпаргалка по "Математическому анализу"

21.

Усл. возраст. и убыв. f

Т. (необ. усл.): если дифференцируемая на (a;b) f y=f(x) возраст. (убыв.), то f ‘ (x)≥0 (то f ‘ (x)≤0) ∀ x∈(a;b)

Т. (достат. усл.): если f y=f(x) дифференцируема на (a;b)  и f ‘ (x)>0 (то f ‘ (x)<0), то f(x) возраст. (убыв.) на (a;b)

Исслед. f на экстремум + достаточные признаки максимума и минимума

Опр.: т. Х0– т. max (min) f y=f(x) выполн. нерав. F(x)<f(x0) (f(x)>f(x0))

Т. (необх. усл. экстр.): если дифференцируемая f y=f(x) имеет в т. х0 экстр., то f ‘ (x0)=0

Опр.: в т. в которых произв =0 или не сущ. назыв. крит. или стационарными

Т. (дост. усл. экстремума): если при переходе ч-з крит. т. х0 произв. дифференцируемой f меняет знак: «+»→«-», то т. х0– т. max, если «-»→«+», то т. х0– т. min

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке f

Утв.: достиг. в т. экстремума или на концах интерв.

Схема отыскания: 1)найти f ‘ (x); 2)найти крит. т. , т.е. т. в котор. произв. =0, либо несущ.; 3)найти знач. В крит. т. и на концах отрезка; 4)выбрать из этих знач. наиб. и наим.

Исследование на максимум и минимум с помощью производных высших порядков

Т. (исслед. f на экстр. с помощью второй произв.) если в т. х0 f ‘ (x0)=0, а вторая произв. сущ. и отлична от 0, то если f ‘’ (x0)<0, то т. х0– max, если f ‘’ (x0)>0 , то т. х0– min

Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Опр.: y=f(x) дифф. на (a;b), назыв. выпуклой вверх (вниз) если все т. кривой лежат ниже (выше) любой ее кас. на этом интервале

Т.: 1)Пусть y=f(x) дважды дифф. на (a;b)=> если f ‘’ (x)>0, то y=f(x) выпукла(вогнута) вниз; 2)если f ‘’ (x)<0, то y=f(x) выпукла вверх

Опр.: т. опр. вып. вверх часть прямой (вып. вниз) назыв т. перегиба

Усл. (дост. усл. т. перегиба): если втор. произв при переходе ч-з т. х0, в котор. она =0 или не сущ. меняет знак, то т. графика с абсцисс. Х0 есть т. перегиба

Асимптоты кривой

Опр.: ассимпт. граф. f y=f(x) назыв. прям. расст. до котор. от т. (x;f(x)) стрем. к 0 при неогран. удал. т. от. нач. коорд.

Виды ассимпт.: 1)верт.- прям. y=a- верт. Ассимпт. ⬄  или  или ; 2)наклон.- прям. y=kx+b ⬄ , ; 3)гор.- если к=0, то прям y=b-гор. ассимпт., [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Общая схема построения графика

1)опр. обл. сущ. f; 2)исслед. f  на период., четность, нечетн.; 3)найти т. пересеч. граф. с осями коорд.; 4) найти т. разрыва и устан. их хар. исслед. повед. f на гран. обл. опред. и найти асимптот.; 5)найти интерв. ↑ и ↓ f и т. экстремума; 6) найти интерв. выпукл. вверх и вниз опр. т. перегиба; 7)постр граф. f

22.

f многих переменных. Основные понятия

Опр.: если каждой паре (x;y) знач. 2-ух незав. перем. x и y  из обл. их опр. D соотв. опр. знач. велич. z, то говорят, что z есть f 2-ух перем. (ф.д.п.) с обл. опред. D

Опр.: совок. пар (x;y) знач. x и y при котор. опр. f z=f(x;y) назыв. обл. опр. f или обл. сущ.

Опр.: пусть f задана в виде z=f(x;y), тогда множ. т. с коорд. (x;y;z) таких, что пары (x;y)∈D(z), а z явл. знач. f опр. граф f z=f(x;y)

23.

Непрерывность и предел ф.д.п

Опр.: число А-предел f z=f(x;y) при стремл. M(x;y)→M(x0;y0), если ∀ε>0 сущ. δ>0 : ρ(M;M0)<δ => |f(M)-A|<ε

Опр.: f z=f(x;y) опр. в некот. окр. т. M0(x0;y0)- непрер. в этой т. если ; [1][pic 7]

Опр.:  f непрер. в кажд. т. некот. обл. назыв. непрер. в этой обл. т. в которых невып. усл. [1]- т. разрыва

7.

Предел ф. на бесконечности

Опр.: число А назыв. пред. Ф.  f(x) при x [pic 8]

БМФ и их свойства

Ф. y=f(x0) наз-ся бм при x[pic 9]

Произведение бмф

Т.: произвед. огран. Ф. на бмф есть бмф

Сл.1: так как всякая бмф огран., то из теор. вытек. произвед. двух бмф есть ф. бм.

Сл.2: произвед. бмф на число есть ф.  бм.

Частное от деления бмф на ф., имеющую предел, отличный от 0

Т.: частное от делен. бмф на ф., им. Отличн. от 0 предел, есть ф. бм.

Ббф

Ф. y=f(x) наз-ся бб при , если lim f(x)=[pic 10][pic 11]

                                                                    [pic 12]

Связь между ббф и бмф

Т.(о связи): 1)f(x)–ббф (f(x)≠0) =>  –бмф; 2)f(x)–бмф (f(x)≠0) =>  –ббф[pic 13][pic 14]

24.

Частные произв.

Опр.: частн. произв. по х f z=f(x;y) назыв. предел отношения частного превращ. Δxz превращ. Δх при  Δх→0 [pic 15]

Опр.: частн. произв. по у f z=f(x;y) [pic 16]

26.

Дифференцируемость и полный дифференциал ф.д.п.

Опр.: z=f(x;y)– дифф. в т. (x0;y0) если ее полное превращ в этой т. можно представ. в виде ΔZ=AΔx+BΔy+αΔx+βΔy [1]

AΔx+BΔy– главная часть. А, В– const. α, β– б.м.ф. при Δх→0, Δу→0.

Гл. часть превращ. f z=f(x;y) линейна относ. Δх, Δу назыв. полным дифф. этой f и обознач. dz; dz= AΔx+BΔy, т.к. Δх=dx, Δy=dy => dz=Adx+Bdy

Т.(необх.усл.): если f = z=f(x;y) и дифф. в т. М(x;y), то она непрер. в этой т.,  имеет в ней частн. произв. причем , т.е. , ; df=f ‘ (x)dx[pic 17][pic 18]

Т.(дост. усл.): если f z=f(x;y) имеет непрер. частн. произв. z’x и z’у в точке М(x;y), то она дифф. в этой т. и ее полный дифф. выражается формулой: [pic 19]

25.

Частные произв. второго порядка

Т. (Шварца): если частн. произв. высшего порядка непрер., то смеш. произв. одного пор., отличающ. лишь пор. дифф-рования, равны между собой

27.

Дифф. сложных ф.д.п.

z=f(u;v). u=ϕ(x;y), v=ψ(x;y)

Если f имеет непрер. частн. f эл. То в этом случае можем найти [pic 20]

28.

Произв. по направл.

Опр.: предел отнош. [pic 21]

Т.(о вычисл. произв. по нарпавл.): если z=f(x;y) имееет в т. M0(x0;y0) непрер. частн. произв., то в этой т. сущ. произв.  по направл. e=(cosα;sinα) вычисл. по форм.: [pic 22][pic 23]

Градиент

Опр.: градиентом f z=f(x;y), назыв. вектор с коорд. ∇z=(zx’; zy’)

∇z= e=(cosα;sinα)[pic 24]

(∇z;e)= ∇z e==, таким обр. произв. по направл. есть скалярн. произв. един. верктора задающ. направл.[pic 25][pic 26]

Касат. плоскость и нормаль к поверхн.

–кас. пл. к поверхн. в ее т. М0, назыв. плоск. содерж. в себе все касат., крив. провед. ч-з эту т.

–норм. к поверхн., назыв. прям. ⊥ к плоск. и проход. ч-з т. М0

F(x;y;z)=0

Fx’ (M0)(x-x0)+ Fy’ (M0)(y-y0)+ Fz’ (M0)(z-z0)=0 –кас. плоск.

 –нормаль[pic 27]

29.

Экстремумы ф.д.п.

Опр.: Пусть f z=f(x;y) опр. в некот. окр. т. (x0;y0) и непрер. в ней, тогда если в люб. т. (x;y) выполн. усл.: если f(x;y)≤f(x0;y0) => т. (x0;y0)– т. max; если f(x;y)≥ f(x0;y0) => (x0;y0)– т. min

Т.(необх. усл.extr): пусть т. (x0;y0)– т. extr дифф. f z=f(x;y), тогда чатсн. произв. z=fx’ (x0;y0), fу’ (x0;y0) равны 0 или хотя бы 1 из них не сущ.

Опр.: т. в которых выполн. необх. услов. extr– назыв. стационарн. или критич.

Достат. усл. экстрем.

Т.(достат. усл. extr):1)если Δ>0 и A>0 => (x0;y0)– т. min; 2) если Δ>0 и A<0 => (x0;y0)– т. man; 3)если Δ<0 => (x0;y0)– т. не явл. т. extr; 4) если Δ=0 => ? (треб. доп. исслед.)

Отыскание экстрем. знач. f в замкн. обл.

z=f(x;y) дифф. в огран. замкн. обл., то она достиг. своего наиб. и  наим. знач. или в стац. т. или в граничн. т. обл.

6.

Односторонние пределы

Если при стремл. х к х0 перем. х прин. лишь знач. меньш. х0 (больше) и при этом ф.  f(x) стремится к некот. числу А, то говор. об одностор. пред. слева (справа) [pic 28]

[pic 29]

10. 

Эквивалентные бмф

Опр.: f(x) и g(x)– бмф, при x→x0, т.е.  [pic 30]

Опр.: если  (и , то f(x)– бм высшего порядка чем g(x); g(x)– бм низшего порядка чем f(X)[pic 31][pic 32]

Опр.: Если , то f(x) и g(x) наз-ся эквивал. бм обозн. . [pic 33][pic 34]

Т.: предел отношений 2 бмф не изменится, если каждую  или одну из них замен. эквивал. ей бм.

12.

Т. разр. f и их классификация

Опр.: точки, в которых нарушается непрерывность f, назыв. т. разр. этой f. Класс.: т. разр. х0 назыв. т. разр. 1-ого рода. f y=f(x), если в этой т. сущ. конечн. пред. f слева и справа, т.е. .1)если A1=A2, то x0-точка устранимая. разр.; 2)A1A2, то х0-точка конечного разр., величина |A1-A2| назыв. скачком f; т. разр. х0 назыв. т. разр. 2-ого рода. f y=f(x), если хотя бы один из односторонних. пред. не сущ. или =∞[pic 35][pic 36]

11.

Непрерывность функции в точке

Опр.: f y=f(x), опр. в некот. окрестности т. x0, назыв. непрер. в т. x0, если сущ. предел f в этой т., и он = знач. f в этой т.

Эквив. опр.:1); [pic 37]

Опр.:

Непрерывность основных элементарных f

Все основные элементарные f непрерывны при всех значениях х, для которых они определены. , следов.,y=f((x)) непрерывна в т. x0.[pic 38][pic 39]

Свойства непрерывных в точке f: непрерывность суммы, произведения, частного

Сумма, произведение и частное двух непрерывных f есть f непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен0)

f(x) и g(x)– непрер. в т. x0:

1) f λf(x), λ∈R– нерпер. в т. x0

2) f(x)±g(x)– непрер. в т. x0

3) f(x)*g(x)– непрер. в т. x0

4) g(x)≠0 =>  непрер. в т. x0[pic 40]

5) g(x)≠0, то  сущ. δ>0 : f(x)*f(x0)>0 для любого x(x0-δ; x0+δ)

6) Т.(о непрер. f  ): если f f(x) непрер. в т. x0, f  g(x) непрер. в т. y0, то h(x)=g(f(x)) непрер. в т. x0

8. 

Осн. теор. о пред. Пред. суммы, произвед.я, частн. f

Т.1: . [pic 41]

Т.2: . [pic 42]

Т.3:  , если знаменатель ≠0[pic 43]

Теор. о пределе промеж. Ф.

Если f f(x) заключ. между 2 f  и g(x), стрем. к одному и тому же пред., то она также стрем. к этому пред., т.е. .[pic 44][pic 45]

Пред. сложн. F

Т.: => [pic 46][pic 47]

13.

Непрер. f на отр.

Опр.: f y=f(x) назыв. непрер. На отрезке [a,b], если она непрер. В интервале (a,b) и в т. х=а непрер. Справа, в т. x=b непрер. слева

Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наиб. и наим. значений, существование промежуточных значений 

Т.1(Вейерштрасса наиб. и наим. зн.): если f непрер. на отр., то она достиг. на этом отр. своего наиб. и наим. зн.

Т.2(Больцано-Коши о промежут. Зн.): если f y=f(x) непрер. на [a,b] и прин. на его концах не равн. зн. f(a)=A и f(b)=B, то на этом отр. она принимает все промеж. Знач. между A и B.

Т.3(о 0 непрер. ): если f y=f(x) непрер. на [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Т.4(о непрер. обр. f) пусть f y=f(x) непрер. и  стр. возраст. (убыв.) на [a;b], тогда сущ. f x=g(y) строго возраст. (убыв.) на [f(a);f(b)] и нерпрер. на нем такая, что g(f(x))=x; g=f-1

14.

Производная функции, ее геометрический и механический смысл

Произв. f y=f(x) в т. x0 назыв. пределом отношения приращением f к приращению аргумен., когда приращ. аргум. стрем. к 0. Геом. смысл.: Произв. f '(x) в т. х = угл. коэф. кас. к граф. f y=f(x) в т., абсцисса которой = х(f '(x)=tga=k). Механич. смысл.: Скорость прямолин. Движения т. в момент времени t есть произв.  от пути S по врем. t(V=S't) Физич. смысл: если f y=f(x) описывает какой-либо физич. проц., то произв. y' есть скорость протекания. этого процесса

15.

Понятие дифференцируемости функции

f y=f(x) приращение ф. в этой т. соответствует приращению.

Непрерывность диф-ой функции

Если ф. имеет производную в каждой т. некоторых(дифференц. В каждой т. этой ф.), то будем говорить, что ф. имеет производную или что она дифференцируема на указанной точке.

1.

Основные понятия

Множества-это класс некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объединение (или сумма множеств А и В)-множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Пересечение (или произведение множеств А и В)-множества, состоящие из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.

16.

Произв. сложной f.

Если y=f(u), где u=u(x), т.е. у-сложная ф., то производная сложной ф. находится по следующему правилу6 y`=f(u)*u`(x), т.е.производную внешней ф. f надо умножить на производную внутренней ф. u

Произв.я обратной f.

Т.: если f у=f(х) строго монотонна. на интерв. (a, b) и имеет  производную в произвольной т. этого интерв., то обр. ее f х=f -1(у)= φи(у) также имеет производную в соответствующей т. определяемой равенством φи`(y)=.[pic 48][pic 49]

Логарифмическое дифференцирование

Опр.: производная логариф-ой f  (lny)`= назыв. логариф-ой произв.. Ее удобно использовать для нахожд. Производной f, выражения которых упрощается при логарифмировании.[pic 50]

Произв. неявной f.

Пусть уравнение f(x, y)=0 определяет у, как неявную f от х. Для нахожд. производной f, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у, как f от х, а затем из полученного уравнения выразить у`.

Произв. парам. f.

Она зад. в виде[pic 51]

17.[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

y-y0=f `(x0)(x-x0)-уравн. кас.,

y-y0= (x-x0)-уравн. нормали (если f ’(x0)≠0)[pic 57]

9. 

Замечательные пределы

1)[pic 58]

Sinx~x

Arcsinx~x

Tgx~x

Arctgx~x

1-cosx~x^2/2

Loga(1+x)~x/lna

Ln(1+x)~x

Ax-1~xlna

Ex-1~x

(1+x)m-1~mx

2). [pic 59]

2.

Понятие функции, способы ее задания.

Если в силу некот. закона f кажд. элементу х принадлежащему множ Х ставится в соотв. 1 и только 1 эл. множ. У, то говор., на множ. Х зад. Ф. f

Способы ее задания:

А) Табл.. ф. задается таб. ряда знач. и соответствующих Знач. Ф.

Б) Граф.. Зад. граф. Ф.

В) Аналит.. ф зад. в виде одной или неск. формул или уравн..

y=f(x) f-аналит. выраж.

График f.

Пусть зад. прямоуг. сист. коорд. Оху и ф. y=f(x). Граф. Ф.f(x) назыв. множ. всех т. плоск. с коорд. (x; f(x)), где х принадлежит обл. опр.ф.

5.

Предел f в т..

Пусть f y=f(x) опр. в некот. окрестности в т. х0 , кроме самой х0

Опр.: Число А назыв. пределом ф. y=f(x) в т. х0, если для любого ℇ>0 найдется положительное число δ : для всех х≠х0 удовл. нерав. |х-х0|< выполн. нерав. [pic 60][pic 61]

[pic 62]

18.

Дифф. f – главная линейная относительно  часть приращения.[pic 63]

dy = f ` (x)*dx                      y`=  [pic 64]

dy = y`dx

Произв. f = отношению дифференциала

Приближ. вычисл. с пом. дифф..

; ,первое усл(1) с учетом (2), дает нам формулу: [pic 65][pic 66][pic 67]

Таким образом, приращ. f отлич. от дифф. f на величину ϭм высш. пор. относ. . Поэтому в приближ. вычисл. иногда использ. приближ. равенство.[pic 68]

 => => =>[pic 69][pic 70][pic 71]

      =>[pic 72]

Геоме. знач. дифф..[pic 73][pic 74][pic 75]

Дифференциал. f есть приращение ординаты касательной, когда х получает приращение x.   y>dy[pic 76]

Произв. и дифф. высших пор..

Произв. y`=f `(x)-первая произв. f `(x). Если f f `(x) дифф., то ее произв. назыв. произв. 2-го пор..

 n-ый произв.(произв. n-ого пор.) f y=f (x) назыв. произв. от произв. (n-1)-го пор..   .[pic 77]

3.

Числовая последовательность и ее предел. 

Опр.: ф., опр. на множ. натур. чисел N и прин-щая. числ. знач. ([pic 78]

Опр.: число а назыв. пред. числ. послед. , если для любого сколь угодно малого полож. числа ℇ>0, найд. такой N, завис. от ℇ, что для всех членов послед. с ном. n>N, выполн. нерав. [pic 79]

. [pic 80]

Бесконечно малые и бесконечно большое последовательности, связь между ними.

Опр.: Числ. послед.  назыв. ббп если для любого с>0 множестве тех членов послед-сти, которые удовл. нерав.  конечно. (n>n0)[pic 81][pic 82]

в интервале (-с, с) может попасть не больше, чем n0 чисел.

Опр.: Числ. послед.   назыв. бмп если для любого с>0 множестве тех членов послед-сти, кот. удовл. нерав.  конечно. (nn0). [pic 83][pic 84][pic 85]

Свойства последовательностей.

Т.: БМП- огран.. - БМП -огран.[pic 86][pic 87]

Т.: а) - ББП  => -БМП; б) - БМП  => -ББП[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

Монотонные последовательности.

x1x2хn[pic 94][pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел.

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

Число «е».

          е-?[pic 102][pic 103]

19.

Осн. теоремы дифф..

Т. Ферма. Пусть f y=f (x) опр. на интерв. (а, в) и в некот. т. х0 этого интерв. имеет наиб. или наим. знач.. Тогда, если в т. х0 сущ. произв., то f `(x0)=0.

Т. Ролля. Пусть f y=f (x) удовл след. Усл.:

а) непрер. на отр.е [a;b];

б)дифф. на интерв. (a;b);

в)f(a)=f(b)

Тогда, внутри отрезка сущ. хотя бы 1 т. с, в кот. произв. обращ. в 0. Следов., сущ. т. с, кот. принадлежит интерв.  (a;b),  такая что f `(с)=0.

Т. Лагранжа. f f (x) непрер. на отр. [a;b] ,f (x) дифф. на инт. (a;b). Следов., сущ. т. с, кот. принадлежит инт. (a;b), так, что   f(b)-f(a)=f `(c)(b-a).

Т. Коши. f f (x) и φ(х) непрер. на отр. [a;b] и дифф. на инт. (a;b), также произв.  для ∀х (a;b). Тогда на инт. (a;b) найдется т. с, такая что . [pic 104][pic 105][pic 106]

20.

Раскрытие неопр., прав. Лопиталя.

Т.Пусть f f (x) и φ(х) непрер. и дифф. в окр. т. х0 и обращ. в 0 в этой т.: . Пусть  в окр. т. х0. Если сущ. предел, то [pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]

Т.Пусть f f (x) и φ(х) непрер. и дифф. в окр. т.               х0 (кроме, может быть т. х0), в этой окр.                     Если сущ. предел , то .[pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

[pic 116]

[pic 117]