Шпаргалка по "Математическому анализу"

1.Отображения,ф-ция.Важнейшиевиды отображений. Элементарные  ф-ции и их графики.

Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое A×B, состоящее из всевозможных упорядоченных пар (x, y),где x ∈ A,y ∈ B,

Пусть Х,У-произвол. множ-ва.

Опред. Подмножества F декартового произведения 2-ух множеств X×Y ,наз. отображением F множества X в множество Y,если для любого х∈Х сущ. единственная пара (x,y) ∈F . Обозначают F:X→Y.Тогда элемент у∈У,в который отображ. х∈Х,называется образом элемента х,а элемент Х наз. прообразом элемента у.

Множество F(X)={y𝜖Y|y=F(x),x𝜖X} наз. образом множ.Х при отображении F.

Чтобы конкретно задать к-л отображение(т.е ф-цию) надо определить способ(правило),как из декартового произв-ия Х×У выбрать множ. F с нужными св-ми.Указание этого способа и задает ф-ция.Поэтому ф-цию часто определяют так: функцией F называют закон(првило),по которому каждому элементу х𝜖Х ставится в соответсвие единственный элемент у𝜖У.

Отображение F:Х→У наз.сюрективным,если F(х)=У;инъективным-если при х1≠х2 будет F(х1≠ F(х2);биективным(взаимно однозначным),если оно явл. сюръективным и инъективным.

Если отображение F : X → Y есть взаимно од-нозначное соответствие между элементами множеств X и Y , то можно говорить об обратном отображении.

Опред. Отображение F−1 наз. обратным к отображению F, элементу y ∈ F(X) ставится в соответствие тот элемент x ∈ X, образом которого при отоб- ражении F является y.

 Элемент.ф-ции

Элементарн ф-ции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций[]: степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

2. Лемма о верхней грани числового множества.

1)множество  X⊂R называется ограниченным сверху, если существует с∈R, что x≤с .

2)множество  X⊂R называется ограниченным снизу, если существует  с∈R, что с≤x.

3)множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

4)Элемент a∈X называется наибольшим элементом для множества Х, если х≤а, для ∀х∈Х, обозначается а=max X (под max  написать “x∈X” )

5) Элемент a∈X называется наименьшим элементом для множества Х, если а≤х, для ∀х∈Х, обозначается а=min X (под min  написать “x∈X”)

6)Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X⊂R сверху, называется верхней гранью множества Х, и обозначается supX (под  sup написать “x∈X” )

7)Наибольшее из чисел, ограничивающих множество X⊂R снизу, называется нижней гранью множества Х и обозначается inf X (под inf написать “x∈X”)

8)Множества,которые не являются ограниченными, называются неограниченными множествами

Лемма:  Всякое ограниченное сверху непустое подмножество действительных чисел X имеет единственную точную верхнюю грань.

Доказательство. Докажем существование верхней грани для множества X. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Каждый элемент y∈Y  ограничивает сверху множество X, поэтому для любого элемента x ∈ X выполняется неравенство x<=y[pic 1]

Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y , поэтому, в силу свойства непрерывности множества действительных чисел, существует такое число β, что для любых x ∈ X и y ∈ Y имеет место неравенство Выполнение неравенства x≤ β для всех x ∈ X означает, что число β ограничивает сверху множество X,  а выполнение неравенства β≤y для всех y ∈ Y , т.е. всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число β является наименьшим среди всех таких, т.е. верхней гранью множества X[pic 2]