Функции двух переменных

Контрольная работа 4

Функции двух переменных

ВАРИАНТ 1

З а д а ч а 1. Заданы функции: z = f (x; y); z =ϕ (x; y); z = g(x; y).  Требуется:

а) найти; б) найти; в) показать, что [pic 1][pic 2][pic 3]

z = f (x; y) = 5- 2x3 + x3y5 + sin (xy);

z = ϕ (x; y) = cosx ⋅ sin (x2y3);

z = g (x; y) = ln(x4y5).

Решение:

а) [pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

; [pic 10]

б) [pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

; [pic 14]

в);[pic 15]

 [pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Т.о., поскольку 0=0, то выполняется равенство: .[pic 19]

З а д а ч а 2. Даны функция z = f(x; y) и точки А( xA; y A ), В( xB; yB ). Вычислить:

а) точные значения zA = f(xA; yA ) и zB = f(xB; yB );

б) полный дифференциал в точке А;

в) приближенное значение функции f(x; y) в точке В, заменив приращение функции дифференциалом при переходе от точки А к точке В; [pic 20]

г) абсолютную и относительную ошибки.

z=[pic 21]

А(-2;1); В(-1,9;0,9).

Решение:

а) [pic 22]

а) значение функции в точке А:

 16[pic 23]

значение функции в точке В:

 [pic 24]

б) полный дифференциал в точке А:

dz=[pic 25]

⇒[pic 26]

4[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Тогда получаем:

dz(А)=[pic 32]

в) приближенное значение =[pic 33][pic 34]

г) абсолютная ошибка равна ε = | - |= |16-16,029|=0,029[pic 35][pic 36]

относительная ошибка δ=, т.е. приближенное значение отклоняется от истинного на -0,004457%[pic 37]

З а д а ч а 3. Не подставляя промежуточные аргументы, найти сложной функции z = f(x; y), заданной цепочкой функций.[pic 38]

.[pic 39]

Решение:

[pic 40]

Таким образом, .[pic 41]

Находим производные:

[pic 42]

;[pic 43]

;[pic 44]

=.[pic 45][pic 46]

Итак, [pic 47]

З а д а ч а 4. Получены пять экспериментальных значений функции y = f (x). Методом наименьших квадратов найти линейное приближение функции y = f (x) в виде y = ax + b. Сделать чертеж.