Функции нескольких переменных

ЛЕКЦИЯ  1

Функции нескольких переменных, область определения. Предел функции. Непрерывность. Частные производные

цель лекции: ввести понятие функции нескольких переменных, предела функции двух переменных, частных производных функции двух переменных, рассмотреть примеры нахождения области определения,  нахождение частных производных первого порядка

 ключевые слова (термины): функция двух переменных, частные производные.

основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которые определяются совокупностью значений нескольких величин.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, выражается формулой[pic 1], т.е. S определяется совокупностью двух величин x и y.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, y, z, выражается формулой[pic 2]. Здесь объем V является функцией трeх переменных.

Определение. Если переменная z зависит от двух независимых переменных x и y, то z называется функцией двух независимых переменных и записывается в виде:[pic 3]и т.д.

Совокупность всех числовых значений, которые могут принимать независимые переменные x и y, называется областью определения функции.

Пример 1.Дана функция [pic 4].

Областью определения этой функции является любая пара чисел (x;y), т.е. вся плоскость Oxy  (рис.1).

Пример 2. Дана функция z=[pic 5].Областью определения этой функции является множество всех точек, удовлетворяющих неравенству [pic 6] или неравенству [pic 7]. Все точки, удовлетворяющие этому неравенству лежат внутри круга с радиусом, равным 1 и на окружности [pic 8] (рис.2).

                        у                                                                                 у[pic 9][pic 10]

[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

                                                х                            х[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

                        Рис. 1                                           Рис.2

Предел и непрерывность функции двух переменных

Множество точек [pic 33], координаты которых удовлетворяют неравенству [pic 34]<δ, называется окрестностью радиуса δ точки[pic 35](δ -окрестность точки [pic 36]). Другими словами, δ-окрестность точки [pic 37] – это все точки, лежащие внутри круга с центром радиуса δ.

Определение 1. Число А называется пределом функции [pic 38]или [pic 39]при стремлении М к точке  [pic 40], если для любого сколь угодно малого [pic 41]найдется такое число [pic 42],  что для всех точек [pic 43]из области определения этой функции, удовлетворяющих условию [pic 44] имеет место неравенство [pic 45].

Коротко это записывается так: [pic 46]или[pic 47]    (1.3)

Определение 2. Функция[pic 48]называется непрерывной в точке [pic 49],  если она определена в этой точке и если:   [pic 50]   (1.4)