Интегралы и функции нескольких переменных

Методические указания по теме

'' Интегралы и функции нескольких переменных''

авторов Абрамовой И. М., Андросенко О.С., Кузиной Т.Т.

________________________________________________________________________

3.Функции нескольких переменных.

3.1.Определение. Способы изображения линий уровня

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,…,xn) из некоторого множества Χ соответствует одно значение переменной величины Z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных Z=f(x1,x2,…,xn).

Переменные x1, x2,…xn называются независимыми переменными (аргументами), Z- зависимой переменной (функцией). Множество Χ называют областью определения функции.

В экономических приложениях широко используются линейные и нелинейные функции n переменных.

Примеры

1. Функция Z=a0+a1x1+…+anxn, где а1,а2,…аn- числа, называется линейной функцией нескольких переменных, если n=2, то Z=a0+a1x1+a2x- линейная функция двух переменных. Функции [pic 1] [pic 2], [pic 3] являются нелинейными.
2. Функция [pic 4]представляет собой конкретный пример производственной функции Кобба-Дугласа (ПФКД), где Z-величина общественного продукта, x1- затраты труда, x2- объем производственных фондов.
3. Функция [pic 5] выражает величину вклада через x2 лет при ставке x1%.

Для упрощения записи ограничимся случаем функций двух переменных, Однако все дальнейшее справедливо если число переменных равно трем, четырем и т.д., функцию двух переменных будем обозначать z=f(x,y).

Графиком функции f двух переменных x и y называется множество точек (x,y,z) трехмерного пространства таких, что z=f(x,y).График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве, а область определения Χ есть подмножество координатной плоскости 0x y.

Для изучения поведения функции двух переменных используют понятие линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных z=f(x, y) называется множество точек плоскости, таких что во всех этих точках значение функции z=f(x, y) одно и то же и равно с. Число с называется уровнем.

Уравнение семейства линий уровня

                                                        z=c или f(x, y)=c                    (3.1)

Пример 18. Построить линии уровня функции z=x2+y2+2x.

Решение: Уравнение линий уровня z=c или x2+y2+2x=c. Приведем к виду [pic 6]. Это уравнение окружности с центром в т(-1;0) и радиусом [pic 7] (рис.4). Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z=c. Точка (-1;0) – вырожденная линия уровня, соответствующая значению z=1.

[pic 8]

Рис.4

3.2.Частные производные и градиент.

Пусть z=f(x, y) – функция двух переменных. Первая производная функции f(x, y) по переменной x, при фиксированной переменной y называется (первой) частной производной функции f(x, y) по переменной x, символически записывают так:        

                            [pic 9],                         (3.2)

Аналогично определяется (первая) частная производная функции f(x, y) по переменной y:

                               [pic 10]                       (3.3)

При нахождении частной производной [pic 11]надо считать постоянной переменную x. При этом сохраняются все известные правила дифференцирования.

Пример 19. Найти частные производные а) [pic 12]  б) [pic 13]

Решение:

а)     [pic 14]

[pic 15]

б) При фиксированном y имеем показательную функцию         [pic 16]

При фиксированном x имеем степенную функцию [pic 17].

Упорядоченная пара частных производных [pic 18] функции Z=f(x, y) двух переменных обозначается символом [pic 19]или [pic 20]и называется градиентом функции Z=f(x, y) двух переменных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор.