Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Автор: anastasiyaliapko • Февраль 24, 2020 • Практическая работа • 831 Слов (4 Страниц) • 471 Просмотры
МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 1
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1-3
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Задача 1.
Найдите производную функции
[pic 1]
Решение.
[pic 2]
Ответ:
[pic 3]
Задача 2.
Найдите дифференциал заданной функции [pic 4].
Проверьте, удовлетворяет ли функция [pic 5] заданному уравнению. [pic 6]
Решение.
[pic 7]
Тождество выполняется только в двух случаях:
- При х = 0
- При [pic 8]
В других случаях тождество не выполняется.
Ответ:
[pic 9];
Функция удовлетворяет заданному уравнению только
- При х = 0
- При [pic 10]
В любых других случаях заданному уравнению функция не удовлетворяет.
Задача 3.
Найдите производную функции
[pic 11]
Решение.
[pic 12]
Ответ: [pic 13]
Задача 4.
Найдите вторую производную [pic 14] функции, заданной параметрически
[pic 15]
Решение.
[pic 16]
Ответ: [pic 17]
Задача 5.
Заданы функция [pic 18] и точка [pic 19]. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведенной в точке [pic 20] к графику функции [pic 21].
[pic 22]
Решение.
Катетами треугольника, площадь которого нужно найти, очевидно, являются оси координат, а гипотенузой – касательная к графику заданной функции. Уравнение касательной имеет вид:
[pic 23]
После подстановки получим уравнение гипотенузы треугольника в виде:[pic 24]
[pic 25]
Найдём производную функции:
[pic 26]
При вычислим[pic 27]
[pic 28]
Уравнение гипотенузы треугольника имеет вид
[pic 29]
[pic 30]
или в виде уравнения прямой в отрезках:
[pic 31]
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов. В данном случае длинами катетов являются модули чисел, стоящих в знаменателях уравнения гипотенузы в отрезках, поэтому искомая площадь треугольника равна
[pic 32]
Ответ:[pic 33]
Задача 6.
Найдите предел по правилу Лопиталя.
[pic 34]
Решение.
[pic 35]
Ответ: [pic 36]
Задача 7.
Разложите функцию по формуле Тейлора по степеням [pic 37] до члена [pic 38] включительно. Остаточный член запишите в форме Пеано.
[pic 39]
Решение.
Разложение необходимо получить в окрестности точки , для этого воспользуемся формулой:[pic 40]
[pic 41]
при .[pic 42]
Вычислим:
[pic 43]
Подставляя найденные значения, получаем разложение с остаточным членом в форме Пеано:
...