Исследование экстремума функции двух переменных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Некоммерческое акционерное общество

«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА»

Кафедра «Автоматизация и управления»

Лабораторная работа № 2

По дисциплине Синтез систем оптимального управления                                 .

Специальность         Автоматизация и управление                                              .

Выполнил        Жаксыгулов Д.А.                                      Группа МАУНк-21-1

                                                 (Ф.И.О.)

Принял        к.т.н. профессор Жусупбеков С.С.                                                   .

                                       (ученая степень, звание, Ф.И.О.)

__________  ________________ «_____»________________2022 г.

(оценка)                 (подпись)

Лабораторная работа № 2. Исследование экстремума функции двух переменных

Цель работы: научиться определить экстремума функции двух переменных.

1. Определить производные и дифференциалы функций нескольких переменных;

1. Определить экстремумов функции двух переменных;

Вариант №5

Найти экстремумы функции двух переменных 𝑧 = 𝑥3 + у3 – 3ху.

Шаг 1. Находим частные производные:

[pic 1]

[pic 2]

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

[pic 3]

Делим уравнение системы на 3 и получаем

[pic 4]

y=[pic 5]

-x=0[pic 6]

x(-1)=0[pic 7]

=0      =0      [pic 8][pic 9][pic 10]

=1      =1      [pic 11][pic 12][pic 13]

Таким образом, получили две критических точки - точки возможного экстремума.

Шаг 3. Находим частные производные второго порядка[pic 14]

[pic 15]

Шаг 4. Находим определитель

[pic 16]

   =0-9=-9[pic 17][pic 18][pic 19]

 =36-9=25[pic 20][pic 21]

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значения экстремума функции двух переменных:

𝑀1(0; 0) ⇒ 𝑧𝑚𝑎𝑥 = 0+0-0 = 0;

𝑀2(1; 1) ⇒ 𝑧𝑚𝑖𝑛 = 1+1-3 = -1;[pic 22]

Задание 2. Исследование практических задач определения наибольшего и наименьшего значения площади и объема геометрических фигур.

1. Из имеющихся досок необходимо построить забор длиной L метров. Требуется оградить двор наибольшей площади, используя для одной стороны двора стену близлежащего здания. Параметр L берётся в соответствии вариантом из таблицы.

Обозначим через х длину тех сторон забора, которые перпендикулярны стене здания. Тогда длина стороны параллельной стене здания, будет равна , а площадь двора будет равна [pic 23]