Туындының анықтамасы және оның геометриялық, физикалық мағынасы

4.29.1 Тақырыбы: Туындының анықтамасы және оның геометриялық, физикалық   мағынасы

4.29.2 Мақсаты: Туынды   ұғымымен таныстыру. Туындының  физикалық мағынасын және функцияның графигіне жүргізілген жанаманың формуласымен таныстыру.

4.29.3 Дәріс тезистері

Функцияның туындысы

1 - сурет – y=f(x) функциясының М нүктесінде жүргізілген жанама

Белгілі  бір облыста y=f(x) функциясы және оның анықталу  облысынан бір нүкте  берілсін.

1.  Аргументке ∆x өсімшесін береміз және оған сәйкес өскен f(x+∆x) мәнін табамыз.

2. Функцияның өсімшесін табамыз: ∆y=f(x+∆x) - f(x).

3. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын табамыз: [pic 3].

4. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы шегін табамыз (11.1):

Анықтама. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда ол шекті  берілген функцияның туындысы деп атайды (11.2)

Туынды  y' немесе  f '(x), немесе [pic 6] деп белгіленеді. Туынды  табуды дифференциалдау деп  атайды.

1)Физикалық:

y=f(x) функциясының х нүктесіндегі f ʹ(x) туындысы х нүктесіндегі өзгеру жылдамдығын анықтайды

sʹ(t)=v(t) — қозғалысағы дененің t уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы;

vʹ(t)=g — жылдамдықтан алынған туынды удеуге тең.

Мысалы: S(t) = 6t2 – 5t + 4 заңы бойынша түзу сызықты қозғалған дененің t = 1с кезіндегі қозғалыс жылдамдығын тап.  f ʹ(x)=12t-5     f ʹ(xₒ)=12*1-5=7           Жауабы: 7м/с

Жылдамдықтан алынған туынды үдеуге тең.

Мысалы: S(t) = 3t3 – 9t2 + 6t – 14 заңы бойынша түзу сызықты қозғалған дененің t = 2с кезіндегі дененің үдеуін тап.   f ʹ(x)=9x2-18t+6       f ʹʹ(x)=18t-18                f ʹ(xₒ)=18*2-18=18           

                                                                                                                          Жауабы: 18м/с2

Геометриялық:Функция туындысының геометриялық мағынасы

y=f(х) функциясының xₒ нүктесіндегі туындысы f ʹ(хₒ) осы функция графигінің (xₒ;f(xₒ)) нүктесі арқылы өтетін жанамасының бұрыштық коэфициентіне тең: f ʹ(хₒ)=tgα=k.