Система линейных уравнений

Задание 1. Найти локальные экстремумы функции двух переменных:

[pic 1]

Решение:

Если дифференцируемая функция z = f(x,y) имеет в точке М0(х0; у0) локальный экстремум, то в этой точке обе ее частные производные первого порядка, если они существуют, равны нулю, т.е. [pic 2], либо хотя бы одна из этих частных производных в этой точке не существует.

Точки, принадлежащие области определения, в которых частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими.

Находим частные производные данной функции:

zx′ = 2x + y +1,

zy′ = x + 2y – 1.

Приравнивая к нулю, получаем систему уравнений:

[pic 3]

          Система имеет одно решение, которое дает критическую точку:

М0(-1;1).

Рассмотрим достаточные условия существования локального экстремума. Пусть существуют частные производные первого и второго порядка функции z = f (x; y), М0(х0; у0) – критическая точка функции z = f (x; y), то есть [pic 4].Введем следующие обозначения:

[pic 5]

Тогда:

1. если Δ > 0, A > 0 (или C > 0), то функция имеет в точке М0 минимум;
2. если Δ > 0, A < 0 (или C < 0), то функция имеет в точке М0 максимум;
3. если Δ < 0, то в точке М0 экстремума нет;
4.  если Δ = 0, то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Вычислим частные производные второго порядка функции z = f (x,y):

zxx″ = 2; zxy″ = 1;  zyy″ = 2,

Вторые производные постоянны в любой точке, следовательно и в критической точке

А=2>0, В=1>0, С=2>0

тогда

,[pic 6]

то в точке М0 имеем точку локального минимума функции, в которой

.[pic 7]

                                          Ответ: М0 – локальный минимум, zmin=0

Задание 2. Имеются изделия трёх сортов, причём число изделий i-го сорта равно пі (i = 1,2,3). Для контроля наудачу берут т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 изделий первого сорта, т2 и т3 – второго и третьего сортов соответственно ([pic 8] = т).

Дано: n1=3, n2=4, n3=1, m1=2, m2=3, m3=1

Решение:

Всего имеем n изделий:

n=n1+n2+n3=3+4+1=8

Общее число выбора m изделий из n равно числу сочетаний из n по m, т.е. .[pic 9]

Определим число, благоприятствующее событию А – «среди отобранных m изделий m1 – 1-го сорта, m2 и m3 – 2-го и 3-го сорта соответственно».

Число способов выбрать изделия 1-го сорта из m изделий равно . Каждому такому выбору соответствует  и  - выбор изделий 2-го и 3-го сорта. Тогда[pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Ответ: 0,571

Задание 3. У студента в сессию N экзаменов. Вероятности того, что студент сдаст каждый из N экзаменов успешно, соответственно равны pi, i=1,…,N. Найти вероятность того, что студент сдаст успешно:

   N=4, p1=0,9, p2=0,8, p3=0,7, p4= 0,65

     а) не менее трех экзаменов; б) хотя бы один экзамен; в) два экзамена.

Решение:

Пусть , i=1, 2, 3 – события, означающие что студент сдал экзамен. Тогда P() = 0,9,  P() = 0,8,  P() = 0,7, P() = 0,65;    P()  =0,1,   P()  =  0,2,   P() = 0,3, P() = 0,35.  Здесь ,  ,   ,  – противоположные относительно    , ,  , случайные события.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]