Система линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса и методом обратной матрицы

1.1. Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса и методом обратной матрицы

[pic 1]

Решение.

1. По формулам Крамера

Найдем главный определитель системы:

[pic 2],

следовательно, система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

2. Методом Гаусса

[pic 8]

Решим данную систему методом Гаусса, т.е. методом исключения неизвестных, для этого:

1. Поменяем местами уравнения: второе уравнение запишем первым, первое – вторым.
2. Исключаем х1 из второго и третьего уравнения: умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым, умножим первое уравнение на (-5) и сложим с третьим.
3. Разделим обе части второго и третьего уравнений на (-).
4. Исключаем х2 из второго уравнения: умножим второе уравнение на (11), а третье на (-7) и сложим их.
5. Из третьего уравнения находим (х3).
6. Из второго уравнения находим (х2).
7. Из первого уравнения находим (х1).

[pic 9]

    [pic 10]

3. Матричным способом

Данную систему запишем в виде матричного уравнения, т.е. в виде AX=B (1), где

[pic 11]

Решаем матричное уравнение, для этого обе части уравнения (1) слева умножаем на матрицу [pic 12], получим

 [pic 13] 

Найдем матрицу [pic 14], для этого найдем алгебраические дополнения для всех элементов определителя матрицы A.

    [pic 15]    [pic 16]        [pic 17]

   [pic 18]  [pic 19]    [pic 20]

[pic 21]        [pic 22]          [pic 23]

Составим союзную матрицу из этих алгебраических дополнений

[pic 24]

транспонируем эту матрицу, получим присоединенную матрицу:

[pic 25]     [pic 26]

Теперь найдем матрицу X

[pic 27][pic 28]

Решая систему уравнений тремя способами, мы получили одинаковый результат, следовательно, система уравнений решена верно.

11.2. Вычислить матрицу Д = АВС – 3Е, где

[pic 29]

Решение.

Вычислим произведение матриц А и В:

[pic 30]

Вычислим произведение матриц АВ и С:

[pic 31]

Вычислим матрицу 3Е:

[pic 32]

Вычислим матрицу Д:

[pic 33]

24.3. Найдите все базисные решения системы

[pic 34]

Решение.

Ранг матрицы системы [pic 35]. Число базисных решений равно

[pic 36]

где  [pic 37]количество переменных системы линейных уравнений;

        [pic 38]ранг матрицы системы.

Возможны следующие группы основных переменных: [pic 39]

Выясним, могут ли переменные [pic 40] быть основными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных, т.е. базисный минор

[pic 41] то [pic 42] могут быть основными переменными.

Найдем первое базисное решение, взяв в качестве основных переменных [pic 43], а в качестве неосновной – переменную [pic 44]. Приравняв неосновную переменную нулю, т.е. [pic 45], получим систему уравнений в виде

[pic 46]

т.е. первое базисное решение [pic 47]

Рассуждая аналогично, найдем второе и третье базисные решения.

Определитель матрицы из коэффициентов при переменных [pic 48]

[pic 49]следовательно, [pic 50] могут быть основными переменными.

[pic 51]

т.е. второе базисное решение [pic 52]

Определитель матрицы из коэффициентов при переменных [pic 53]

[pic 54]следовательно, [pic 55] могут быть основными переменными.

[pic 56]

т.е. третье базисное решение [pic 57]

В итоге имеем три базисных решения:

[pic 58] [pic 59] [pic 60]