Системы линейных уравнений. Линейные пространства
Автор: Riha • Июнь 15, 2018 • Курсовая работа • 789 Слов (4 Страниц) • 523 Просмотры
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Смоленский государственный университет
Кафедра прикладной математики
КУРСОВОЙ РАСЧЕТНЫЙ ПРОЕКТ
по теме «Системы линейных уравнений. Линейные пространства»
Выполнила студентка 1 курса - 11ПМИ
Куден Арина Владимировна
Проверил: доцент каф.прикладной математики Шатохин Н.Л.
Смоленск
2015
Задание №1.
Исследовать совместность данной системы и, в случае совместности, найти её решение методом Гаусса и указать общее решение.
[pic 1]
Решение:
- Составим расширенную матрицу данной системы линейный уравнений и с помощью метода элементарных преобразований будем находить ранги матрицы системы.
[pic 2]
~[pic 3][pic 4]
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме. Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг ее равен количеству ненулевых строк. Следовательно, rang(A)=4 – ранг матрицы системы и rang(B)=4 – ранг расширенной матрицы.
Так как система содержит n=5 (кол-во строк), т.е. rang(A)=rang(B)
- Решение системы методом Гаусса приведено выше, следовательно:
[pic 5]
Ответ: [pic 6]
Задание №2.
Найти какую-нибудь ФСР и общее решение данной ОСЛАУ. Указать размерность подпространства решений этой системы.
[pic 7]
Решение:
- Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы:
А=[pic 8]
[pic 9]
Rg(A)=1, n=4 (Rg
Получаем, что: x1 – базисная переменная
x2,x3,x4 –свободные переменные
Выражаем свободную переменную через базисные:
[pic 10]
Количество ФСР: n-r=4-1=3 (это число равняется количеству свободных переменных)
- Рассмотрим первую ситуацию, если x2=1, x3=0, x4=0
[pic 11][pic 12]
- Рассмотрим вторую ситуацию, если x2=0, x3=1, x4=0
[pic 13][pic 14]
- Рассмотрим третью ситуацию, если x2=0, x3=0, x4=1
[pic 15][pic 16]
- ФСР={}[pic 17]
- Общим решением является линейная комбинация частных решений:
,[pic 18]
где [pic 19]
Ответ: 1) ФСР={}[pic 20]
2) , [pic 21][pic 22]
Задание №3.
Проверить, является ли система векторов , базисом в линейном пространстве R4.[pic 23][pic 24]
(-1,0,3,-3), [pic 25][pic 26]
Решение:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
[pic 27]
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
[pic 28]
Отсюда следует, что:
[pic 29]
Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов), так как все xi=0
Задание №4.
Составить ОСЛАУ множество решений которой совпадает с линейной оболочкой L{ } образованной векторами [pic 30][pic 31]
[pic 32]
Решение:
Запишем матрицу из координат данных векторов и приведем её к ступенчатому виду:
~[pic 33][pic 34]
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
[pic 35]
Запишем СЛАУ:
[pic 36]
Запишем данную СЛАУ в виде матрицы:
[pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
Запишем строки с нулями в систему, приведя подобные:
...