Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

3.I Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

[pic 1]                (1)

Умножим первое уравнение на  [pic 2], второе на [pic 3]. Получим:

[pic 4]

[pic 5]

Вычитаем из первого второе и получаем:

[pic 6]                                                         (2)

Аналогичным образом, умножая первое уравнение на  [pic 7], второе на [pic 8] и вычитая из второго первое, получим:

[pic 9]                                                        (3)

Полагая:

[pic 10]

Запишем (2) и (3) как:

[pic 11]

                                                                   ([pic 12])                                                                          

Система  ([pic 13])  есть следствие системы (1) в том смысле, что каждое решение системы (1) есть решение системы ([pic 14]). Возможны три случая.

Случай 1. [pic 15]

Случай 2. [pic 16] (это означает, что хотя бы одно из чисел [pic 17] или [pic 18]не равно 0).

Случай 3.  [pic 19]

В первом случае мы получаем, что если [pic 20] и [pic 21] есть решение системы (1), то:

[pic 22]                                                          (4)

Проверим, что [pic 23] и [pic 24] действительно есть решение системы (1). Имеем:

[pic 25]

[pic 26]

Таким образом, в первом случае система (1) определена. Ее единственное решение может быть найдено по формулам (4), которые называются формулами Крамера.

Во втором случае система (1) решений не имеет (в этом случае мы говорим, что система несовместна). Действительно, допустим противное: пусть числа  [pic 27] и [pic 28] являются решениями системы (1). Пусть для определенности [pic 29]  Подставляя    [pic 30] и [pic 31] в первое урвнение системы  ([pic 32]), получаем:

[pic 33]

что невозможно, так как по предположению [pic 34]

В третьем случае имеем:

[pic 35] или [pic 36]

   [pic 37] или [pic 38][pic 39]

 [pic 40] или [pic 41]

Таким образом,  [pic 42]  и система  (1)  может быть записана в виде:

[pic 43]                                                ([pic 44])

Решениями системы ([pic 45]) будут любые числа  [pic 46] и [pic 47], связанные равенством    [pic 48] Таким образом, в третьем случае система (1) неопределенна.

Однородная система:

[pic 49][pic 50]

всегда имеет решение [pic 51], [pic 52]. Если [pic 53], то это решение единственно. Если [pic 54], то система неопределенна.

Пример1.  Решить систему:

[pic 55]

Решение. Запишем данную систему в виде:

[pic 56]

и найдем [pic 57] и   [pic 58]. Имеем:

[pic 59],     [pic 60],     [pic 61].

По формулам (4):

[pic 62]     [pic 63]

Пример 2.  Решить систему:

[pic 64]

Решение. Запишем данную систему в виде?

[pic 65]

и найдем [pic 66] и   [pic 67]. Имеем:

[pic 68],     [pic 69],     [pic 70].

Таким образом, мы имеем Случай 2. Следовательно, система несовместна.

Пример 3.  Решить систему:

[pic 71]

Решение. Запишем данную систему в виде:

[pic 72]

и найдем [pic 73] и [pic 74]. Имеем: