Системы линейных алгебраических уравнений
Автор: Avgust57 • Октябрь 5, 2022 • Лекция • 1,802 Слов (8 Страниц) • 127 Просмотры
ЛЕКЦИЯ 2 Системы линейных алгебраических уравнений.
ЛЕКЦИЯ 2. Системы уравнений
2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
2.1. Решение систем по формулам Крамера
Дана система линейных алгебраических уравнений, содержащая неизвестных и уравнений:[pic 1][pic 2]
[pic 3]
где – неизвестные, – коэффициенты уравнения, – свободные величины.[pic 4][pic 5][pic 6]
Если в системе (15) все , то система уравнений называется однородной.[pic 7]
Теорема 5. (Крамера): система уравнений с неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель системы отличен от нуля.[pic 8][pic 9]
Рассмотрим общий метод решения по формулам Крамера на системе из трёх уравнений с тремя неизвестными. Метод переносится на систему любого порядка.
Метод применим, если определитель системы отличен от нуля .[pic 10]
Дана система линейных алгебраических уравнений:
[pic 11]
Вычислим определитель системы:
[pic 12]
Вычислим определители , заменив i-й столбик на столбик свободных членов:[pic 13]
[pic 14]
Найдём неизвестные по формулам:
[pic 15]
Формулы (19) называются формулами Крамера, а метод – методом Крамера.
Пример 13. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
[pic 16]
Решение:
Вычислим определитель системы:
[pic 17]
[pic 18]
Применим метод Крамера:
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Ответ: . [pic 25]
По формулам Крамера можно исследовать систему уравнений на количество решений (таблица 1).
Таблица 1.
Определитель системы [pic 26] | Вспомогательные определители | Наличие решения | Метод решения системы |
[pic 27] | – | Система имеет единственное решение | Формулы Крамера; метод Гаусса; матричный метод. |
[pic 28] | или или [pic 29][pic 30][pic 31] | Система решений не имеет | – |
[pic 32] | Система либо не имеет решений, либо множество решений. | Метод Гаусса |
Однородная система линейных алгебраических уравнений всегда имеет решение (либо единственное, либо множество).
Пример 14. Проверить, является ли система совместной:
[pic 33]
Решение: Вычислим определитель системы:
[pic 34]
Вычислим :[pic 35]
[pic 36]
Следовательно, система не совместна.
Ответ: система несовместна.
Определение 15. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Определение 16. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной. Если система имеет множество решений, то она называется неопределенной. Если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Система линейных алгебраических уравнений может быть:
- Определённой и совместной, т.е. , имеет единственное решение;[pic 37]
- Неопределённой и совместной, т.е. , имеет множество решений;[pic 38]
- Неопределённой и несовместной, т.е. , решения нет.[pic 39]
2.2. Решение систем с помощью обратной матрицы
Рассмотрим систему уравнений:
[pic 40]
Для данной системы запишем следующие матрицы.
Матрица системы:
[pic 41]
Матрица-столбец неизвестных:
[pic 42]
Матрица-столбец свободных членов:
[pic 43]
Запишем систему в матричном виде: .[pic 44]
Для того, чтобы найти матрицу X, необходимо умножить обе части уравнения на матрицу, обратную , т.е. на :[pic 45][pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Пример 15. Решить систему матричным методом:
...