Линейное уравнение, система линейных уравнений

1. Линейное уравнение, система линейных уравнений.

Общий вид линейного уравнения

 (1)[pic 1]

         Здесь  – неизвестные,  – коэффициенты уравнения, b – свободный член.[pic 2][pic 3]

При b = 0 линейное уравнение называется однородным. При b не равном 0 неоднородным.

Решением линейного уравнения (1) называется упорядоченная последовательность чисел, подстановка которых вместо неизвестных превращает уравнение в тождество.

Определение. Упорядоченная (пронумерованная) система из m уравнений, содержащих неизвестные  называется линейной системой. В общем случае она имеет вид:[pic 4]

     (2)[pic 5]

Коэффициенты системы  имеет два индекса: первый индекс i  обозначает номер уравнения в системе (i = 1…m),  j – порядковый номер неизвестного в данном уравнении (j = 1…n).[pic 6]

В общем случае число уравнений в системе не равно числу неизвестных, т.е. m ≠ n.

Система (2) называется однородной, если правая часть всех уравнений системы равна нулю.

Решением линейной системы (2) называется упорядоченная последовательность чисел,  подстановка которых вместо неизвестных превращает каждое уравнение системы в тождество.

Система линейных уравнений (2) называется:

1. несовместной, если она не имеет решений (ни одного);
2. совместной, если имеет решение (хотя бы одно);
3. определенной, если решение только одно;
4. неопределенной, если решений бесчисленное множество.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и тоже решение.

Замечание. Очевидно, что умножение правой и левой части любого из уравнений на одно и тоже число, перестановка местами уравнений, почленное сложение двух уравнений приводит к равносильной системе.

1. Запись системы линейных уравнений в матричной форме (матрица линейной системы).

Систему линейных уравнений (2) мы можем записать в матричной форме:

АХ = В,

где

А = ,  X = , B = [pic 7][pic 8][pic 9]

Здесь А – упорядоченная таблица, построенная из коэффициентотв линейной системы (2) – числовая матрица линейной системы, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов.

Часто рассматривают матрицы, содержащие столбец из свободных членов:

А = [pic 10]

Такие матрицы называют расширенными. Столбец свободных членов обычно отделяют вертикальной линией.

Пример.

Пусть дана система

[pic 11]

Тогда А =  – матрица коэффициентов системы,  X =  -  столбец неизвестных, В =  - столбец свободных членов.[pic 12][pic 13][pic 14]

 Познакомимся с матрицами ближе.

1. Матрицы

Матрицей называется таблица чисел. Любая матрица имеет определенное количество строчек и столбцов, которое называется порядком или размером матрицы. Матрицы обозначаются заглавными буквами и, обычно, заключаются в круглые скобки.

Пример:

[pic 15]

Данная матрица имеет 2 строки и 3 столбца, т.е. имеет размер 2*3.

Матрица состоит из 6 элементов. Каждый элемент матрицы имеет свой номер, по которому данную матрицу можно однозначно идентифицировать.   Обозначается элемент , где i – номер строки, а j – номер столбца. Например,  = -4, а  = 3.[pic 16][pic 17][pic 18]

Некоторые специальные виды матриц, термины и обозначения.

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Элементы квадратной матрицы , ,  и т.д (т.е. номер строки совпадает с номером столбца) называются диагональными, а их совокупность образует главную диагональ.[pic 19][pic 20][pic 21]