Понятие о дифференциальном уравнении

Понятие о дифференциальном уравнении

         Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные или дифференциалы от неизвестной функции, и может содержать искомую функцию и независимую переменную.

         Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными. Уравнения в частных производных – это самостоятельная математическая дисциплина, которая представляет известную сложность даже для студентов вузов, поэтому включение их рассмотрение в факультативный курс абсолютно бессмысленно.

         Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Оба уравнения, рассмотренные нами в п. 3.1, являются уравнениями первого порядка. Уравнения [pic 1], [pic 2], [pic 3] являются соответственно уравнениями второго, третьего и четвертого порядков. Уравнение [pic 4]го порядка всегда можно, перенеся все его члены в левую часть, записать в виде:

[pic 5].

         Здесь [pic 6] — некоторая известная функция от своих аргументов.

         Если дифференциальное уравнение записать следующим образом:

[pic 7],

то говорят, что оно задано в нормальной форме. Например, нормальной формой уравнения

[pic 8]

будет                                      [pic 9].

         В дальнейшем большинство определений мы будем приводить применительно к уравнениям второго порядка. Во-первых, более сложные уравнения в рассматриваемом курсе обсуждаться не будут, а во-вторых, слишком громоздкие формулы могут просто отбить у школьников желание приступать к решению любых дифференциальных уравнений.

         Всякая функция [pic 10], определенная и непрерывная в интервале [pic 11] вместе со своими производными до порядка, равного порядку данного дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество, справедливое при всех значениях [pic 12] из интервала [pic 13], называется решением этого уравнения в интервале [pic 14].

         Так, функция [pic 15] будет решением уравнения  [pic 16]  в интервале  [pic 17], если

[pic 18].

         График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

         Рассмотрим несколько примеров уравнений и их решений (интегральных кривых).

         Пример 1.

Функция [pic 19] является решением уравнения [pic 20] в интервале [pic 21] и во всяком конечном интервале, ибо [pic 22]. Следовательно, интегральной кривой данного уравнения является синусоида.

Пример 2.

Рассмотрим уравнение  [pic 23].

Нетрудно убедиться, что функция [pic 24] является решением уравнения в каждом из интервалов [pic 25]. В этих интервалах функция [pic 26] непрерывна вместе со своей производной и имеет графиком равнобочную гиперболу, каждая из ветвей которой будет интегральной кривой (рис. 11).

[pic 27]

Рис. 11. Интегральная кривая [pic 28].

Как было сказано выше, процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Если при этом удастся выразить все решения в элементарных функциях, то говорят, что уравнение проинтегрировано в элементарных функциях.