Моделирование дифференциальных уравнений в программе Mathcad

Введение

Моделирование на компьютере и проведение вычислительного эксперимента является одним из важнейших современных методов исследования физических явлений. Данная тема является актуальной, так как студенты высших учебных заведений должны иметь представления о компьютерных моделях, численных методах изучения различных объектов познания, достаточно свободно ориентироваться в современных программных продуктах. Современный персональный компьютер позволяет за несколько секунд решить множество сложных систем уравнений, построить график изучаемой зависимости, промоделировать трудновоспроизводимый эксперимент. И это является отличным подходом на пути к овладению методами вычислительной математики и физики является самостоятельное написание студентами различных компьютерных программ на алгоритмических языках программирования. Создавая подобные компьютерные модели, работая с исходным кодом программы, студент глубже понимает конкретные способы обработки информации, методы программирования.

 Сегодня необходимо уметь работать с современными математическими пакетами, различными системами компьютерной математики. К ним относится пакет MathCAD - достаточно распространенная система автоматического проектирования, в которой объединены редактор документов, системный интегратор, центр ресурсов, электронные книги, справочная система, браузер Интернета. Пакет MathCAD имеет мощный математический аппарат, позволяющий выполнять символьные вычисления, решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, операции с векторами и матрицами, писать программы, строить графики и поверхности, и т.д.

Целью данной работы является изучение и моделирование вынужденных колебаний горизонтально закрепленного вала с одним упруго закрепленным подшипником в пакете программмы  MathCAD.

1.1 Теоретическое описание

Для получения дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные колебания вала, рассмотрим следующую задачу.

Горизонтальный вал массы М вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг оси симметрии. Левый конец вала вращается в шарнирно закрепленном самоустанавливающимся подшипнике, который может свободно поворачиваться вокруг центра О. Правый конец вала вращается в упруго закрепленном подшипнике А.

[pic 1]

                                      (рис. 1)

            [pic 2]

                                       (рис. 2)

Коэффициент жесткости с упругого поля, в котором перемещается правая опора А, одинаков в любом направлении, перпендикулярном ОА. Центр тяжести вала находится в точке С на расстоянии [pic 3] от точки О и на расстоянии [pic 4] от опоры А. Расстояние между опорами  [pic 5]. Главные центральные моменты инерции вала: А – относительно его продольной оси ОА и В – относительно любой оси, перпендикулярной ОА и проходящей через центр тяжести С. В горизонтальном положении вал находится в положении статического равновесия.

Для решения поставленной задачи выберем неподвижные оси координат [pic 6] (рис. 1) с центром в неподвижной точке О, направив ось [pic 7] вдоль оси вала в положении статического равновесия, ось [pic 8] - в горизонтальной плоскости и ось [pic 9] - вертикально.

Воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения в проекциях на неподвижные оси [pic 10], [pic 11], [pic 12]. Проекции главного момента количеств движения (кинетического момента) на неподвижные оси   [pic 13], [pic 14], [pic 15] равны

[pic 16]                      (1)

где (рис. 2) смещенное произвольное положение вала вполне определяется координатами [pic 17], [pic 18] правой опоры вала. Действительно, малые углы [pic 19] и [pic 20], образованные смещенной осью вала с неподвижными плоскостями [pic 21][pic 22] и [pic 23][pic 24], с точностью до малых величин первого порядка малости равны

[pic 25]                                               (2)  

Координаты центра тяжести [pic 26], [pic 27] также могут быть выражены через [pic 28], [pic 29]: