Матрицы

Контрольная работа №1

[pic 1]

Задача 1

Даны векторы [pic 2] и [pic 3]. Найти вектор [pic 4], модуль вектора [pic 5], скалярное произведение [pic 6], где [pic 7], [pic 8]

Решение

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Задача 2

Даны матрица [pic 13] и вектор-строка [pic 14]. Найти произведения [pic 15] и [pic 16].

Решение

Транспортирование матрицы – переход от матрицы [pic 17] к матрице [pic 18], в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка:

[pic 19]; [pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Задача 3

Даны матрицы [pic 23] и [pic 24]. Проверить, коммутативны ли матрицы [pic 25] и [pic 26], и найти определители матриц.

Решение

[pic 27]

[pic 28]

Так как [pic 29], то матрицы [pic 30] и [pic 31] не являются коммутативными.

Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы по первой строке:

[pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35]

[pic 36]

Задача 4

Решить систему из трех уравнений, пользуясь формулой Крамера и методом Гаусса:

[pic 37]

1) метод Крамера

Обозначим [pic 38], [pic 39], [pic 40]

Найдем определитель системы

∆ [pic 41][pic 42]

[pic 43]

Так как ∆ [pic 44]0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц [pic 45], [pic 46], [pic 47], полученных из матрицы А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

[pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51][pic 52]

[pic 53]

[pic 54][pic 55]

[pic 56]

Теперь по формулам Крамера

[pic 57];          [pic 58];          [pic 59],

т.е. решение системы [pic 60]

2) метод Гаусса

Расширенная матрица системы имеет вид:

[pic 61]

Умножая первую строку на 2 и прибавляя полученную строку ко второй, исключим переменную х1 из второй строки:

[pic 62]~ [pic 63]

Умножая первую строку на (-1) и прибавляя полученную строку к третьей, исключим переменную х1 из третьей строки:

[pic 64]~ [pic 65]

Так как теперь а22 ≠ 0, то умножая вторую строку на [pic 66] и прибавляя полученную строку к третьей, исключим переменную х2 из третьей строки:

[pic 67]~ [pic 68]

Получим систему уравнений

[pic 69][pic 70]

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения [pic 71]; из второго уравнения [pic 72] и из первого уравнения [pic 73], т.е. решение системы (3; 2; 1)

Задача 5

Найти ранг матрицы [pic 74] размерностью 4×4. Найти определитель матрицы:

[pic 75]

Шаг 1

Так как [pic 76], то умножая первую строку матрицы соответственно на числа 1,5,  -2,5, 0,5, и прибавим полученные строки соответственно ко второй и третьей  строкам

[pic 77]~[pic 78]