Блочные (клеточные) матрицы и операции над ними

Блочные (клеточные) матрицы и операции над ними

Числовая матрица A размеров [pic 1], разделенная горизонтальными и вертикальными линиями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной (клеточной) матрицей. Элементами блочной матрицы A являются матрицы [pic 2] размеров [pic 3], [pic 4], [pic 5], причем [pic 6] и [pic 7].

Операции с блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и с числовыми матрицами. Если числовые матрицы A и B равных размеров одинаково разбиты на блоки [pic 8] и [pic 9], то их сумму C=A+B можно аналогичным образом разбить на блоки [pic 10], причем для каждого блока [pic 11]. Если блочную матрицу [pic 12] умножить на число [pic 13], то получим матрицу [pic 14]. При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежит блочная структура и все ее блоки, например

[pic 15]

Пример. Даны блочные матрицы

[pic 16]

Найти матрицы C=A+B, [pic 17], [pic 18].

Решение. Матрицы A и B имеют блоки одинаковых размеров: блоки [pic 19]и [pic 20]имеют размеры [pic 21]; блоки [pic 22] и [pic 23] – [pic 24]; блоки [pic 25]и [pic 26] – [pic 27]; блоки [pic 28] и [pic 29] – [pic 30]. Матрица C=A+B будет иметь такие же по размерам блоки [pic 31]. Для каждого блока находим

[pic 32]

Следовательно, матрица C будет следующая

[pic 33]

Матрица [pic 34] будет иметь блоки тех же размеров, что и матрица B:

[pic 35]

Поэтому матрица D будет иметь вид

[pic 36]

Используя правило транспонирования блочных матриц, получаем

[pic 37]

Умножение блочных матриц

Рассмотрим теперь операцию умножения блочных матриц A и B. Блочные матрицы A и B называются согласованными, если разбиение матрицы [pic 38] на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы [pic 39] по строкам, т.е. блоки [pic 40] имеют размеры [pic 41], а блоки [pic 42] – [pic 43] ([pic 44]). У согласованных блочных матриц блоки [pic 45] и [pic 46] являются согласованными матрицами.

Произведением [pic 47] согласованных блочных матриц A и B называется блочная матрица [pic 48], блоки которой вычисляются по следующей формуле

[pic 49].

Это означает, что блочные матрицы, разделенные на блоки надлежащим образом, можно перемножать обычным способом. Чтобы получить блок [pic 50] произведения, надо выделить i-ю строку блоков матрицы A и j-й столбец блоков матрицы B. Затем найти сумму попарных произведений соответствующих блоков: первый блок i-й строки блоков умножается на первый блок j-го столбца блоков, второй блок i-й строки блоков умножается на второй блок j-го столбца и т.д., а результаты умножений складываются.