Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Пределы последовательностей и функций

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова»

Высшая школа энергетики, нефти и газа

Выполнил обучающийся:

Короткий Алексей Андреевич[pic 1]

(Ф.И.О.)

Направление подготовки:

21.03.02 Землеустройство и кадастр

[pic 2]

Курс:        I

[pic 3]

Группа:  113304

[pic 4]

Руководитель:

 [pic 5]

Архангельск 2023

Задание 1

а) Вычислите матрицу A; б) найдите матрицу, обратную к матрице A .

Вариант №5

∙ + 4 ∙ [pic 6][pic 7][pic 8]

а) Вычислите матрицу A

∙ + 4 ∙  [pic 9][pic 10][pic 11]

Решение:

1. Перемножим 1 и 2 матрицы

[pic 12]

=[pic 13]

1. Умножим 3 матрицу на 4

4 ∙ [pic 14]

1. Сложим получившиеся матрицы

 = = А[pic 15][pic 16]

Ответ: [pic 17]

б) Найти матрицу, обратную к матрице А

[pic 18]

Решение:

1. Найдем определитель матрицы А

|А| =  = 20∙12∙19 + 19∙19∙20 + 25∙13∙25 - 25∙12∙20 - 25∙19∙19 - 20∙13∙19 = [pic 19]

=4560 + 7220 + 8125 – 6000 – 9025 – 4940 =  - 60

1. Так как |A| = - 60 ≠ 0, значит, матрица А обратима.

Обратную матрицу найдем по формуле

 =  [pic 20][pic 21][pic 22]

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

= ;    = ;   = ; [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

= ;    = ;   = ; [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

= ;    = ;   = ; [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Итак, подставляем значения

 =  =   = [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

Ответ: [pic 47]

Задание 2

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы.

Вариант №5

[pic 48]

Решение:

1. Метод Крамера

[pic 49]

[pic 50]

Составим и вычислим определитель Δ матрицы A:

Δ = 3∙(4∙8-2∙7)+ (-8)∙(2∙8-2∙3)+ 9∙(2∙7-4∙3) = 54-80+18= -8[pic 51]

Так как Δ ≠ 0 , то метод Крамера применим

Составим и вычислим определители Δ, Δ, Δ (определитель Δполучен из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы уравнений):[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

= 4∙(4∙8-2∙7)+ (-8)∙(6∙8-2∙9)+ 9∙(6∙7-4∙9) = 72-240+54= -114[pic 56]

= 3∙(6∙8-2∙9)+ (-4)∙(2∙8-2∙3)+ 9∙(2∙9-6∙3) = 90-40+0= 50[pic 57]

= 3∙(4∙9-6∙7)+ (-8)∙(2∙9-6∙3)+ 4∙(2∙7-4∙3) = -18-0+8= -10[pic 58]

Получаем решение системы:

= 14,25;       = -6,25;        = 1,25;[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Ответ: x = 14,25; y = -6,25; z = 1,25.

1. Метод обратной матрицы

[pic 65]

Решение:

Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде

AX = B,

где; ; ;[pic 66][pic 67][pic 68]

Если матрица A обратима, то решение системы найдем в виде X= B[pic 69]

Составим и вычислим определитель Δ матрицы A: