Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Комплексные числа

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Вариант 1

Задача 1:

Для изготовления трех видов изделий (А, В и С) используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Необходимые характеристики производства указаны в таблице.

Требуется определить объем выпуска каждого вида изделий.

Составить систему линейных уравнений, доказать ее совместность и решить тремя способами:

1. по формулам Крамера;
2. с помощью обратной матрицы (матричным методом);
3. методом Гаусса.

Решение.  Пусть используется [pic 1] оборудование вида А, [pic 2] оборудование вида В и  [pic 3] оборудование вида С. Тогда в соответствии с общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида имеем систему:

 [pic 4]    Составим   [pic 5]

 Вычислим определитель этой системы:  

[pic 6]

 Так как [pic 7], то система совместна и имеет единственное решение.

1) Найдем решение системы по формулам Крамера. Последовательно заменяя в определителе ∆ первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Найдём решение системы по формулам Крамера: [pic 11]

[pic 12]

2) Решим систему матричным методом. Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

[pic 13]             [pic 14]

[pic 15]                [pic 16]

[pic 17]               [pic 18]

[pic 19]             [pic 20]

[pic 21]

Подставляя в формулу

[pic 22], где [pic 23]

получаем:

[pic 24].

Следовательно, по формуле [pic 25] имеем:

[pic 26]

т.е. [pic 27]

3)  Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу  и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к виду

[pic 28].

Получим нули ниже главной диагонали матрицы А. Предварительно поменяем местами первую и вторую строки (если первый столбец содержит единицу, целесообразно переместить ее в первую строку).

[pic 29]

[pic 30]

         Для последней матрицы система имеет вид:

[pic 31]

ПРОВЕРКА

[pic 32]задача решена верно

Ответ: объём выпуска первого вида изделий, второго вида изделий [pic 33] и третьего вида изделий [pic 34].

Задача 11:

Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4:

A1(3, 1, 4), A2(-1, 6, 1), A3(-1, 1, 6), A4(0, 4, 1).

Найти:

1) длину ребра A1A2;

2) угол между ребрами A1A2 и A1A4;

3) площадь грани A1A2A3;

4) объем пирамиды;

5) уравнения прямой A1A2;

6) уравнение плоскости A1A2A3;

7) угол между ребром A1A4  и  гранью A1A2A3;

8) уравнения высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3. 

Решение. 1) Длина ребра A1A2 равна длине вектора [pic 35] и вычисляется по формуле [pic 36]:

[pic 37].

2) Найдем координаты векторов [pic 38] и [pic 39] по формуле [pic 40]:

[pic 41]

По формуле [pic 42] определяем косинус угла между векторами [pic 43]и [pic 44]: