Контрольная работа по "Алгебре и геометрии"

6.  Дана система линейных уравнений

[pic 1]

Исследовать её на  совместность и в случае совместности решить тремя способами:1)методом Гаусса;2)средствами матричного исчисления;3)по формуле Крамера.

Решение. Докажем совместность. Запишем расширенную матрицу системы и найдём её ранг.

[pic 2]

Элемент матрицы [pic 3], стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, следовательно, rang [pic 4].

Среди миноров  второго порядка, окаймляющих (включающих в себя) этот элемент, также есть отличные от нуля, например:

[pic 5]т.е.rang [pic 6]

Из миноров третьего порядка, окаймляющих [pic 7], возьмём минор [pic 8]=[pic 9]:

[pic 10][pic 11]

Так как [pic 12]0, то rang [pic 13], а так как у матрицы [pic 14] миноров 4-ого порядка не существует, то rang [pic 15]=3. Так как [pic 16]=[pic 17][pic 18]0, то и rang A=3.Таким образом, rang A = rang [pic 19], и совместность доказана.

1)Применим метод Гаусса к решению данной системы.

Шаг 1. Поменяем местами первое и третье уравнения

[pic 20] 

Шаг 2. Члены первого уравнения умножим на (-3) и прибавим к членам второго уравнения, члены первого уравнения умножим на (-2) и прибавим к членам третьего уравнения.

[pic 21]

Шаг 3. Члены второго уравнения умножим на [pic 22] и прибавим к членам третьего уравнения

В результате получим:

[pic 23]

Таким образом, исходная система приведена к эквивалентной системе треугольного вида. Она имеет единственное решение. Решаем эту систему, начиная с последнего уравнения:

36[pic 24]=22;[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Ответ: [pic 28]=13/6; [pic 29]=91/36; [pic 30]=11/18.

2)Применяем матричный метод к решению системы. Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:

[pic 31]=[pic 32], [pic 33]=[pic 34], [pic 35]=[pic 36].

а) Определитель системы [pic 37]=[pic 38]0, значит, матричный метод применим.

б) Запишем систему в матричном виде [pic 39]=[pic 40]:

[pic 41]=[pic 42]

в) Вычисляем алгебраические дополнения [pic 43]:

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Подставляя найденные значения [pic 47]в формулу, получим:

[pic 48]

г) Воспользуемся формулой X=[pic 49][pic 50] или

 [pic 51]

Ответ: [pic 52]=13/6; [pic 53]=91/36; [pic 54]=11/18.

3)Применяем формулы Крамера к решению системы.

Определитель системы [pic 55].Найдём [pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

Найдём [pic 60] и [pic 61] по формулам:

[pic 62]

Тогда получаем:

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

Ответ: [pic 66]=13/6; [pic 67]=91/36; [pic 68]=11/18.

16. Даны векторы [pic 69] в векторном базисе. Показать, что векторы [pic 70]образуют базис, и найти координаты вектора [pic 71] в базисе.

Решение. Составим определитель [pic 72] из координат векторов [pic 73] и вычислим его:

[pic 74]

Так как [pic 75]0, то векторы [pic 76]образуют базис. Найдём координаты вектора [pic 77] относительно базиса [pic 78],т.е. числовые коэффициенты [pic 79] разложения [pic 80] 

или [pic 81]

В силу определения равенства векторов и определения операций сложения векторов и умножения вектора на число, когда известны координаты векторов относительно  некоторого базиса, последнее векторное равенство можно записать в виде системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

[pic 82]

Решим эту систему по формулам Крамера:

[pic 83]

Составим расширенную матрицу

[pic 84]

[pic 85]. Вычислим [pic 86]

[pic 87] 

[pic 88] 

[pic 89] 

[pic 90]

Получаем: [pic 91]

Ответ: [pic 92]

26. Даны уравнения двух сторон треугольника: 2x-5y+11=0 и x+2y-1=0.Его медианы пересекаются в точке P(3,1).Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертёж.