Контрольная работа по "Алгебре"

Задание 1.

а) Вычислите матрицу А; б) найдите матрицу, обратную к матрице А.

·  + 4 · .[pic 1][pic 2][pic 3]

Решение.

а) 1) Найдем матрицу:

·  =  =              = [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

2) Найдем матрицу:

4 ·  = [pic 8][pic 9]

3) Найдем матрицу А:

А =  +  = [pic 10][pic 11][pic 12]

б) 1) Найдем определитель матрицы А:

|А| =  = 20·12·23 + 19·19·20 + 25·13·25 - 20·12·25 - 25·19·23 - 13·19·20 = -1000[pic 13]

2) Так как |А|=-1000≠0, значит, матрица А обратима.

3) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А11 = (-1)1+1· = 29, А12 = (-1)1+2· = -195, А13 = (-1)1+3· = 85,[pic 14][pic 15][pic 16]

А21 = (-1)2+1· = -112, А22 = (-1)2+2· = -40, А23 = (-1)2+3· = 120,[pic 17][pic 18][pic 19]

А31 = (-1)3+1· = 61, А32 = (-1)3+2· = 245, А33 = (-1)3+3· = -235.[pic 20][pic 21][pic 22]

4) Итак, A-1=  ·  T = ·  [pic 23][pic 24][pic 25]

Ответ: а) А =  ; б) A-1 = .[pic 26][pic 27]

Задание 2.

Решите систему уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы.

[pic 28]

I. Методом Гаусса:

Из коэффициентов уравнений и свободных членов, входящих в запись системы, составим расширенную матрицу. Проведем элементарные преобразования над расширенной матрицей системы:

 ~  ~  ~  ~  ~  ~  [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Опишем каждый переход от матрицы к следующей матрице:

(1) – 1-ую строку делим на 3;

(2) – от 2-ой строки отнимаем 1-ую, умноженную на 2; от 3-ей строки отнимаем 1-ую, умноженную на 3;

(3) – 2-ую строку делим на -;[pic 36]

(4) – от 1-ой строки отнимаем 2-ую строку, умноженную на ; к 3-ей строке добавляем 2-ую строку, умноженную на 1;[pic 37]

(5) – 3-ую строку делим на 2;

(6) – к 1-ой строке добавляем 3-юю строку, умноженную на 5; от 2-ой строки отнимаем 3-юю строку, умноженную на 3

Получаем:

x = 14,25 ; y = -6,25 ; z = 1,25

II. Методом Крамера:

1) Составим и вычислим определитель ∆ матрицы А:

∆ =  = -8[pic 38]

Так как ∆ ≠ 0, то метод Крамера применим.

2) Составим и вычислим определители ∆x, ∆y, и ∆z (определитель xi получен из определителя ∆ заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы уравнений):

 ∆x =  , ∆y  =  , ∆z = .[pic 39][pic 40][pic 41]

Получим, что

∆x = -114 , ∆y  = 50, , ∆z = -10 .

3) Получаем решение системы:

x =  =  = 14,25 , y =  =  = -6,25 , z =   =  = 1,25 .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

lll. Методом обратной матрицы:

1) Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде AX=B, где

А =  , Х =  , B =  .[pic 48][pic 49][pic 50]

Если матрица А обратима, то решение системы найдем в виде

X = A-1 · B.

2) Составим и вычислим определитель ∆ матрицы А:

∆ =  = -8[pic 51]

Так как |А| = ∆ = -8 ≠ 0, то метод обратной матрица применим.

3) Найдем А-1 :

А11 = (-1)1+1· = 18, А12 = (-1)1+2· = -10, А13 = (-1)1+3· = 2,[pic 52][pic 53][pic 54]

А21 = (-1)2+1· = -1, А22 = (-1)2+2· = -3, А23 = (-1)2+3· = 3,[pic 55][pic 56][pic 57]