Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Задание 1

Найти матрицу С, если

С =  - 3В,         А = , В = [pic 1][pic 2][pic 3]

Решение:

 =   = [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

А*Вᵀ =  *  =  = [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

3В = 3 *  = [pic 12][pic 13]

С=  -  = [pic 14][pic 15][pic 16]

Ответ:     С= [pic 17]

Задание 2

Решить систему матричным методом, методом Гаусса и по формулам Крамера:

[pic 18]

Решение:

Матричный метод:

Рассмотрим матрицы:

А =   [pic 19]

В =   [pic 20]

х =   [pic 21]

Вычислим определитель:

= 1 - 2  + 3 = -4-2(15-2)+3*12 = -4-26+36 = 6матрица А имеет обратную матрицу [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

 =  *   [pic 28][pic 29][pic 30]

 = ( = -4                         = ( = -(10-12) = 2[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

 = ( = -(15-2) = -13                 = ( = 5-6 = -1[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

 = ( = 12                         = ( = -(4-4) = 0[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

 = ( = 2                         = ( = -(1-9) = 8[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

 = ( = 0-6 = -6[pic 47][pic 48]

Итак,  =      [pic 49][pic 50][pic 51]

Из уравнения АХ = В получим: Х =  * В, тогда Х =    *   =       =   [pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Ответ: х = 3; y = 0; z = 0.

Метод Гаусса:

Составим расширенную систему и приведем её к ступенчатому виду:

                  [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Получим эквивалентную систему уравнений [pic 64]

                                                                     6y + 8z = 0

                                                                      z = 0

     x+2y = 3

     6y = 0

     z = 0

    x = 0

    y = 0

    z = 0

Ответ: (3;0;0).

Метод Крамера:

х =  ; y = ; z = [pic 65][pic 66][pic 67]

 = 6[pic 69][pic 70][pic 68][pic 71]

 =    = 3  - 2 + 3 = 3*(-4)-2(45-6)+3(36-0) = -12-2*39+3*36 = -12-78+108 = 18[pic 77][pic 78][pic 79][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]

 =     = 1  -2 + 3 = 1(-36)-2(18-18)+3(12-0) = -36+36 = 0[pic 85][pic 86][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]

   = 1 - 3 + 3 = 45-6-3(15-2)+3(18-18) = 39-39 = 0[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

х =  = 3;      y =   = 0; z =  = 0[pic 92][pic 93][pic 94]

Ответ: (3;0;0).

Задание 3

Используя теорему Кронекера - Капелли, исследовать систему уравнений и в случае совместимости решить.

    х1 - х2 + х3 - 2х4 = 1

    х1 – х2 + 2х3 – х4 = 2

   5х1 - 5х2 + 8х3 - 7х4 = 3

Решение:

Составить расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

(А,В) =                   [pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

Заданная система уравнений не имеет решений (противоречива), так как третья строка приводит к уравнению: 0 = -5, что невозможно.

Ответ: не имеет решений.

Задание 4

Векторы  ; ;  заданы координатами в некотором базисе. Показать, что векторы  ;  образуют базис в пространстве, и найти координаты вектора  в этом базисе.[pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107]

 =          =          =             = [pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

Решение:

Векторы образуют базис в пространстве, если их скалярное произведение не равно 0.

( ) =       = 1 -2  + 4 = -4-2-2(4-2)+4(2+2) = -6-2*2+4*4 = 60. Значит,  ;  образуют базис в пространстве.[pic 126][pic 127][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125]

Пусть x, y,z – координаты  в базисе  ; , тогда x, y, z удовлетворяют системе уравнений:[pic 128][pic 129][pic 130][pic 131]