Контрольная работа по "Алгебре"

1 семестр

Раздел 1. Алгебра и аналитическая геометрия

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1. Найти матрицу a) D=AB-2C, b) F=ВВ^t

A=[pic 1], В=[pic 2], С=[pic 3] 

А) D=AB-2C

1)   [pic 4]*[pic 5]=[pic 6]

2 ) 2*[pic 7]

3)[pic 8]

B) F=BB^t

1) С=[pic 9]

2) [pic 10]

Задача 2. Решить невырожденные системы линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом, по формулам Крамера и методом Гаусса
[pic 11] [pic 12]

А)метод крамер

Запишем в виде системы

А=[pic 13]

в^t=(1,-2,2)

найдем определитель

∆=(1*((-1)*4-1*2)-2*(1*2-(-1)*2)=6

Заменим 1 столбец матрицы А на вектор результата В

[pic 14]

Найдем определитель

∆=(1*((-1)*4-1*2)-2*(1*2-(-1)*2)=6

X2=[pic 15]

 Заменим 2 столбец матрицы А на вектор результата В

[pic 16]

Найдем определитель

∆=1*((-2)*4-2*2)-2*(1*4-2*2)+4(1*2-(-2)*2)=12

X2=[pic 17]

Заменим 3 столбец матрицы А на вектор результата В

[pic 18]

Найдем определитель

∆=1*((-1)*2-1*(-2))-2*(1*2-1*1)+4*(1*(-2)-(-1)*1)=-6

Х3=[pic 19]

Проверка

1*1+1*2+2*(-1)=1

2*1-1*2+2*(-1)=-2

4*1+1*2+4*(-1)=2

Метод Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы

[pic 20]

Умножим 1 –ую строку на (2).Умножим 2-ую строку на (-1).Добавим 2-ую строку к 1 –й

[pic 21]

Умножим 2 –ую строку на (2).Умножим 3-ую строку на (-1).Добавим 3-ую строку к 2 –й

[pic 22]

Добавим 2-ю строку к 1-й

[pic 23]

Теперь исходную систему можно записать так :

Х3=-2/2=1

Х2=-6/(-3)=2

Х1=[pic 24]

Х1=[pic 25]

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Задача 1. а) представить комплексное число в тригонометрической и

показательной форме, изобразить на комплексной плоскости;

б) выполнить действие.

а) z = 2 + 2 j ;

действительная часть х

х=Re(z)=2

мнимая часть числа у

у=Im(z)=2

модуль комплексного числа │z│

│z│===2[pic 26][pic 27][pic 28]

Поскольку х>0, y > 0 то arg(z) находим как

Arg(z)= =arctg()[pic 29][pic 30]

Φ=arctg[pic 31]

Таким образом тригонометрическая форма комплексного числа z= 2+2j

Z=2[pic 32]

Находим показательную форму комплексного числа z= 2+2j

Z= =2*[pic 33][pic 34][pic 35]

b)[pic 36]

действительная часть х

х=Re(z)=3

мнимая часть числа у

y=Im(z)=-[pic 37]

модуль комплексного числа │z│

│z│===[pic 38][pic 39][pic 40]

Поскольку х>0, y > 0 то arg(z) находим как

Arg(z)==2-arctg()[pic 41][pic 42][pic 43]

Φ=2 π-arctg=2 π-arctg([pic 44][pic 45]

Таким образом тригонометрическая форма комплексного числа z= (3+3j)/(4-4j)

Z=(cos(-arctg(+2* π)+I *sin(-arctg[pic 46][pic 47][pic 48]

Находим показательную форму комплексного числа  z= (3+3j)/(4-4j)

Z=[pic 49]

Задача 2. Найти корни уравнения, сделать проверку.

+2x+37=0[pic 50]

D=4-4*37=-144

X1==-7[pic 51]

X2=5[pic 52]

Проверка

-7+2*5+37=0

Задача 3. Разложите рациональную дробь на сумму простейших дробей

R(x)==[pic 53][pic 54]

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1. Найти:

1) координаты, модуль и направляющие косинусы вектора АВ ;

2) скалярное произведение 4AB ⋅CD ;

3) угол между векторами АВ и СD ;

4) площадь треугольника АВС.

5) Объем пирамиды АВСD

A(0;2;4), B(4; -1;2 ) , C(5;1; -3) , D(3;2;6)

1)Вектор координатам точек

==[pic 55][pic 56][pic 57]

Найдем модуль вектора

==[pic 58][pic 59][pic 60]

Cos =[pic 61][pic 62]

2)4AB*CD=16•12 + (-12)•(-39) + (-8)•7 = 604