Контрольная работа по "Алгебре"

Шифр 001

[pic 1]

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Задание 1 к разделу 1

Решить систему алгебраических уравнений:

1. по правилу Крамера;

2. методом Гаусса;

3. матричным способом.

[pic 2]

Решение:

1. по правилу Крамера;

Запишем формулы Крамера:

[pic 3]

Здесь:  - определитель системы;[pic 4]

 – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;[pic 5]

 – определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;[pic 6]

 – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.[pic 7]

В нашем случае имеем:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Теперь найдем значения неизвестных:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

2. методом Гаусса;

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

[pic 15]

Перепишем соответствующую систему уравнений:

[pic 16]

Решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса:

[pic 17]

3. матричным способом.

Запишем систему в матричной форме , где[pic 18]

[pic 19]

Решение матричного уравнения найдем по формуле [pic 20]

Найдем определитель матрицы :[pic 21]

[pic 22]

Т.к. определитель матрицы , значит, обратная матрица  существует.[pic 23][pic 24]

Найдём обратную матрицу по формуле:

[pic 25]

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы  по формуле:[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Записываем обратную матрицу:

[pic 37]

Находим решение системы:

[pic 38]

[pic 39]

Задание 1 к разделу 2

Даны координаты точек .[pic 40]

Найти:

1) периметр ;[pic 41]

2) больший угол ;[pic 42]

3) площадь ;[pic 43]

4) уравнение прямой ; [pic 44]

5) уравнение плоскости .[pic 45]

Решение:

Сделаем предварительные вычисления:

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

1) периметр ;[pic 49]

Длины сторон равны модулям векторов.

Модуль вектора  вычисляется по формуле:[pic 50]

[pic 51]

Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

Тогда периметр :[pic 55]

[pic 56]

2) больший угол ;[pic 57]

Угол между сторонами  и  будем искать, используя формулу скалярного произведения векторов:[pic 58][pic 59]

[pic 60]

В нашем случае:

[pic 61]

[pic 62]

3) площадь ;[pic 63]

Площадь треугольника  найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах .[pic 64][pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

4) уравнение прямой :[pic 70]

Уравнение прямой, проходящей через  и  найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки:[pic 71][pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

5) уравнение плоскости .[pic 75]

Уравнение плоскости , найдем по формуле уравнения плоскости, проходящей через три точки:[pic 76]

[pic 77]

Подставляя координаты точек ,  и  в формулу, получим:[pic 78][pic 79][pic 80]

[pic 81]

Раскрывая определитель и упрощая полученные выражения, получим:

[pic 82]

[pic 83]

 – уравнение плоскости .[pic 84][pic 85]

Задание 1 к разделу 3

Установить, что векторы   образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе, если .[pic 86][pic 87][pic 88]

Решение:

Вычислим определитель, составленный из векторов :[pic 89]

[pic 90]

Таким образом, векторы  линейно независимы и образуют базис.[pic 91]

Представим вектор  в виде линейной комбинации базисных векторов:[pic 92]

[pic 93]

Покоординатно:

[pic 94]

Систему решим по формулам Крамера:

[pic 95]

, значит система имеет единственное решение.[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]