Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Задачи по "Алгебре"

Автор:   •  Март 2, 2018  •  Задача  •  1,290 Слов (6 Страниц)  •  1,575 Просмотры

Страница 1 из 6

Завдання 1

Довести тотожності теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.

а) ⊕ (CA) = ((BC)∪(BA)) \ ((BC)∪(BA))

 б) B \ (C∪A) = (B \ C) \ A

Розв’язання

а) Доведемо тотожність теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.

 [pic 1]

 {за означенням симетричної різниці}  [pic 2]

 { закон де Моргана }[pic 3]

 {дистрибутивний закон, [pic 4]

 {закон поглинання, закон ідемпотентності }[pic 5]

 { закон де Моргана }[pic 6]

 {за означенням різниці}  [pic 7]

=B ⊕ (CA) {за означенням симетричної різниці}  

В результаті перетворень правої частини ми отримали вираз, рівний лівій частині рівності, отже, тотожність доведено:

⊕ (CA) = ((BC)∪(BA)) \ ((BC)∪(BA))

б) Доведемо тотожність теорії множин за допомогою алгебраїчних перетворень.

 Перетворимо ліву частину виразу, використавши основні закони алгебри множин:

 B \ (С ) = [pic 8]

=  = {за означенням операції різниці}  [pic 9]

=  = { закон де Моргана } [pic 10]

=  = {асоціативність перетину} [pic 11]

=  = { за означенням операції різниці } [pic 12]

=  = { за означенням операції різниці } [pic 13]

В результаті перетворень лівої частини ми отримали вираз, рівний правій частині рівності, отже, тотожність доведено:

B \ (C∪A) = (B \ C) \ A.

Завдання 2

Довести тотожність теорії множин модельним шляхом.

((D∩([pic 14]A)) × (CB)) ∪ (D×(CB)) = (D×(CB))

Розв’язання

Доведемо тотожність теорії множин модельним шляхом. Оскільки вираз містить декартовий добуток, то візьмемо пару елементів [pic 15]

Покажемо, що коли пара елементів  належить лівій частині рівності, то вона належить і правій частині рівності:[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Покажемо, що коли пара елементів  належить правій частині рівності, то вона належить і лівій частині рівності:[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Ми показали, що коли пара елементів  належить правій частині тотожності, то вона належить і лівій частині тотожності і що коли пара елементів  належить лівій частині тотожності, то вона належить і правій частині тотожності. Отже, тотожність доведено.[pic 50][pic 51]

((D∩([pic 52]A)) × (CB)) ∪ (D×(CB)) = (D×(CB))

Завдання 3

Для бінарного відношення визначити які властивості воно має. Додатково для скінченного відношення побудувати матрицю відношення та граф (якщо відношення є відношенням порядку – побудувати діаграму Гассе). Для відношення еквівалентності знайти класи еквівалентності. Для відношення порядку знайти найменші/найбільші, мінімальні/максимальні елементи.

Відношення визначено на множині натуральних чисел N: xPy ⇔ НСД(xy) = y

Розв’язання

Оскільки відношення Р є нескінченним на множині натуральних чисел, задамо відношення Р переліком частини його елементів:

...

Скачать:   txt (19 Kb)   pdf (388.3 Kb)   docx (806.5 Kb)  
Продолжить читать еще 5 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club