Задачи по "Дискретной математике"

Задание № 1.

Дано:

+ + + ... + =

Доказать равенство методом математической индукции.

Доказательство:

Для решения задания воспользуемся методом математической индукции.Пусть

n = 1. Тогда исходное равенство примет вид:

= ;

= .

Очевидно, при n = 1 исходное равенство является верным.

Предположим, что для произвольного натурального числа k (k > 1)

исходноеравенство выполняется, то есть: + + + ... + = .

Покажем, что в этом случае равенство выполняется и для числа k + 1. Тоесть,

докажем равенство:

+ + + ... + = .

Преобразуем левую часть равенства, учитывая, что:

+ + + ... + = .

Отсюда:

+ + + ... + + = ;

+ = .

Общий знаменатель: (k + 1)×(k + 2).

+ = или = .

Значит, исходное равенство имеет место для любого натурального числа n.

Что и требовалось доказать.

Задание № 2.

Разложим (3a+4b)5 с помощью треугольника Паскаля.

(3a+4b)0 = 1

(3a+4b)1 = 3a+4b

(3a+4b)2 = 9a2+24ab+16b2

(3a+4b)3= 27a3+108a2b+144ab2+64b3

(3a+4b)4 = 81a4+432a3b+864a2b2+768ab3+256b4

(3a+4b)5 = 243a5 + 1620a4b + 4320a3b2 + 5760a2b3 + 3840ab4 + 1024b5

Используя шестой