Жай сан

Жай сан — 1-ден үлкен, бірақ 1 мен өзінен басқа сандарға бөлінбейтін, бүтін оң сан (мысалы, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Жай сандардың шексіз көп екендігі (Евклид теоремасы) ежелгі грек математиктеріне де белгілі болған. Жай сан натурал сандарды зерттеу кезінде негізгі ұғым болып есептеледі. Өйткені, кез келген бүтін сан (1-ден басқа) бір ғана түрде жай сандардың көбейтіндісіне жіктелетіндігін (көбейткіштердің тәртібіне назар аударылмайды) бөлінгіш теориясының негізгі теоремасы тұжырымдайды. 1-ден x-қа дейінгі жай сандарды табу үшін Эратосфен елегі (б.з.б. 3 ғасыр) қолданылады. 1-ден x-қа дейінгі жай сандар тізбегін қарастырғанда, орташа есеппен жай сан сирек кездеседі. Натурал сандар қатарының бірде бір жай сан болмайтын өте үлкен аралықтары болады. Дегенмен айырмасы 2-ге тең жай сандар да (егіз сандар деп аталатын) бар (мысалы, 10006427 және 10006429). Мұндай егіз сандар жиыны шекті ме не шексіз бе деген сұраққа әзірше жауап табылған жоқ (1987).

Жай сандардың таралуы

Натурал сандар қатарында жай сандардың таралуы — сандар теориясының ең қиын мәселесі. Бұл мәселе, n оң санынан аспайтын, жай сандардың санын көрсететін π(n) функциясының асимптоталық сипатын зерттеу ретінде қарастырылады. Жай сандардың таралуы теоремасы {\displaystyle \pi (n)~}{\displaystyle \pi (n)~} (яңни 1-ден n-ге дейінгі жай сандар саны) саны n өскен сайын {\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}{\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}} сияқты өседі дейді, яғни:

{\displaystyle {\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1,}{\displaystyle {\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1,} егер {\displaystyle \quad n\to \infty }{\displaystyle \quad n\to \infty }.

Л.Эйлер 1737 жылы төмендегідей дзета-функциясын ендірді:

{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,}{\displaystyle \zeta (s)={\frac