Дифференциальные уравнения

173. В задаче найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: а) с разделяющимися переменными:

[pic 1]

Разделяем переменные.

[pic 2]

[pic 3]

Интегрируем обе части.

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Берём  вместо , общее решение уравнения:[pic 7][pic 8]

[pic 9]

197. В задаче найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

[pic 10]

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнение:

[pic 11]

Характеристическое уравнение:    [pic 12]

Его корни: . Корни  действительные и разные, общее решение в этом случае:[pic 13]

[pic 14]

Общее решение исходного неоднородного уравнения – сумма общего решения однородного и частного решения исходного.

Найдём частное решение исходного уравнения методом неопределённых коэффициентов. По виду правой части исходного ДУ   ищем его в виде (учитываем, что 1 –  корень характеристического уравнения кратности 1):[pic 15]

[pic 16]

Подставляя в исходное ДУ:

[pic 17]

Получили частное решение:   [pic 18]

Общее решение исходного уравнение:

[pic 19]

Теперь используем начальные условия.

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Искомое частное решение (решение задачи Коши):

[pic 23]

212. В задаче дан степенной ряд. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала:

[pic 24]

Радиус сходимости степенного ряда находим по формуле

[pic 25]

Здесь   - коэффициенты степенного ряда:   [pic 26][pic 27]

[pic 28]

Интервал сходимости:

[pic 29]

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.