Дифференциальные уравнения
Автор: Vigantsergei • Октябрь 12, 2022 • Контрольная работа • 336 Слов (2 Страниц) • 103 Просмотры
Контрольная работа
№1
[pic 1]
Решение:
Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, разделим переменные и проинтегрируем обе части, получим:
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
Ответ: [pic 8]
№2
[pic 9]
Решение:
Данное дифференциальное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену:
[pic 10]
Тогда:
[pic 11]
Подставляем в уравнение:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Сделаем обратную замену и получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
[pic 20]
[pic 21]
Ответ: [pic 22]
№3
[pic 23]
Решение:
Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для решения сделаем замену:
[pic 24]
Тогда:
[pic 25]
Подставляем в уравнение:
[pic 26]
[pic 27]
Получаем систему уравнений:
[pic 28]
Решим первое уравнение системы:
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Подставим полученное решение во второе уравнение системы:
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
Сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
[pic 39]
Теперь найдём решение задачи Коши, для этого воспользуемся начальным условием:
[pic 40]
[pic 41]
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
[pic 42]
Ответ: [pic 43]
№4
[pic 44]
Решение:
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли.
Разделим на обе части:[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
Сделаем замену:
[pic 48]
Находим производную:
[pic 49]
Подставляем в уравнение:
[pic 50]
Домножим обе части на (-1):
[pic 51]
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для решения сделаем замену:
[pic 52]
Тогда:
[pic 53]
Подставляем в уравнение:
[pic 54]
[pic 55]
Получаем систему уравнений:
[pic 56]
Решим первое уравнение системы:
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
Подставим полученное решение во второе уравнение системы:
[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
Сделаем обратную замену:
[pic 68]
Сделаем ещё одну обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
[pic 69]
[pic 70]
Чтобы найти решение задачи Коши, воспользуемся начальным условием:
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
[pic 74]
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
[pic 75]
Ответ: [pic 76]
№5
[pic 77]
Решение:
Данное дифференциальное уравнение в явном виде не содержит переменную x, поэтому для решения сделаем замену:
[pic 78]
Тогда:
[pic 79]
Подставляем в уравнение:
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
Сделаем обратную замену:
[pic 88]
Воспользуемся начальным условием:
[pic 89]
[pic 90]
Тогда:
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
Воспользуемся начальным условием:
[pic 99]
[pic 100]
...