Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения
1. Основные понятия.
Для решения различных задач в математике, физике используют ур-ия связ.нез-ую переменную, искомую ф-ию и их производные. Такие ур-ия наз-ся дифференциальными. Решением ДУ наз-ся ф-ия, которая при подстановке в ур-ие обращает его в тождество. Если неизвестная ф-ия зависит от одной переменной, то ур-ие наз-ся обыкновенным, в противном случае ур-ие частных произв. Наивысший порядок произв., входящей в ДУ наз-ся порядком этого ур-ия.
 – обыкн.ДУ 3го порядка
  - ДУ в частн.произв.
2xdx+ydy=0 – обыкн.ДУ 1го порядка
Процесс отыскания решения ДУ наз-ся его интегрированием, а график реш-ия интегральной кривой.
2. Задачи, приводящие к пониманию ДУ.
Найти кривую, проходящую ч/з точку (4;1) зная, что отрезок любой касательной к ней, заключённый между осями координат делится в точке касания пополам.
Для составления ДУ воспользуемся геом. смыслом 1 произв.: .  
 
 
 ДУ 1го порядка
Его решением явл-ся ф-ия вида:  [pic 9][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Другие задачи:
1) Закон изменения массы радия в зависимости от времени описывается ДУ 1го порядка
, где k>0 , k-коэф.пропорц., m-масса радия
2) Закон размножения бактерий , k>0
3.  ДУ первого порядка
ДУ 1го порядка в общем виде наз-ся ур-ие вида . Это ур-ие связывает нез-ую переменную, ф-ии и её произв. Если разрешить данное ур-ие отн-но y’, то получим ур-ие вида y’=f(x;y) – ур-ие разрешённое отн-но произв. Данное ур-ие устанавливает связь между координатой точки (x;y) и угловых коэф.касательной, проведённой к интегральной кривой, проходящее ч/з эту точку. Таким образом, геом.смысл ДУ 1го порядка ур-ие вида y’=f(x;y)даёт совокупность напр.на коорд.плоскости ХОУ. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаковое наз-ся изоклиной. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых y’=2x. Ур-ие изоелин получается, если положить, что y’=C. f(x;y)=C. Ур-ием изоклин данного ДУ 2x=C прямые .[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

[pic 14]

 
C=0; x=0; y’=0;
C=1; x=1/2; y’=1;
C=2; x=1; y’=2;
C= -1; x=-1/2; y’=-1; [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

ДУ 1го порядка, разрешённого отн-но производной можно записать в диф.форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.  P(x;y), Q(x;y)-известные ф-ии. Данные ур-ия удобны тем, что переменные x и y в нём равноправные, т.е.любую из них можно рассматривать как ф-ию другой. Интегрирование ДУ в общем виде приводит к бесконечному мн-ву решений (мн-во решений отличаются только на произвольную постоянную). Условия, что  ф-ия у должна быть равна заданному значению  наз-ся начальным условием.
 или
Общим решением ДУ 1го порядка наз-ся ф-ия , содержащая 1 произвольную постоянную и удовлетворяющая 2м условиям:
1)  явл-ся решением ДУ для любого С;
2) Какого бы ни было начальное условие  можно найти такое значение , что ф-ия  удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением ДУ 1го порядка наз-ся ф-ия вида  полученное из общего решения при конкретном постоянном значении С. Если общее решение найдено в неявном виде , то такое решение наз-ся общими интегралом ДУ.
 – частный интеграл ДУ. Задача отыскания решения ДУ 1го порядка, которое удовлетворяет заданным начальным условием наз-ся задачей Коши.
4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Если в ур-ии y’=f(x;y) ф-ия f(x;y) и её произв. по переменной у непрерывны в некоторой области D, содержащей точку , то существует единственное решение  этого ур-ия удовлетворяющему начальному условию.
5. Виды ДУ:
1) Ур-ие с разделёнными переменными;
 – ДУ с РП
 – общий интеграл

2) Ур-ие с разделяющимися переменными;
 
 ;    – общий интеграл
При почленном делении на  могут быть потеряны решения, чтобы этого избежать решаем ур-ие  и устанавливаем их решение, которые не могут быть получены из общ.решения, это особые решения ур-ия.[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]