Дифференциальные уравнения
Автор: komp • Март 14, 2019 • Контрольная работа • 1,863 Слов (8 Страниц) • 306 Просмотры
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1)-7) Определить вид дифференциального уравнения и найти его общее решение или частное решение, удовлетворяющее начальному условию задачи Коши.
1) [pic 1], [pic 2]
Решение
Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
[pic 3]
[pic 4] [pic 5], C – некоторая постоянная.
Используем начальные условия [pic 6] и найдем С:
[pic 7] [pic 8].
В итоге, имеем [pic 9].
2) [pic 10]
Решение
Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13] [pic 14], C – некоторая постоянная.
3) [pic 15]
Решение
Имеем однородное линейное дифференциальное уравнение
Замена: [pic 16], тогда [pic 17], где [pic 18] - некоторая функция от [pic 19]. Сделаем подстановку:
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23] [pic 24], С – некоторая постоянная.
Сделаем обратную подстановку: [pic 25].
4) [pic 26]
Решение
Имеем: [pic 27].
[pic 28]
Имеем уравнение Бернулли. Замена: [pic 29], тогда [pic 30], где [pic 31] - некоторая функция от [pic 32]. Сделаем подстановку:
[pic 33]
[pic 34]
Замена: [pic 35], тогда [pic 36], где [pic 37] - некоторые функции от [pic 38]. Сделаем подстановку:
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41] [pic 42] [pic 43] [pic 44].
Найдем [pic 45]:
[pic 46] [pic 47].
Тогда функция [pic 48] будет равна:
[pic 49], С – некоторая постоянная.
Функция [pic 50] будет равна: [pic 51].
5) [pic 52], [pic 53]
Решение
Замена: [pic 54], тогда [pic 55], где [pic 56] - некоторые функции от [pic 57]. Сделаем подстановку:
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60] [pic 61] [pic 62] [pic 63] [pic 64].
Найдем [pic 65]:
[pic 66] [pic 67].
Тогда функция [pic 68] будет равна:
[pic 69], С – некоторая постоянная.
Используем начальные условия [pic 70]:
[pic 71] [pic 72].
В итоге: [pic 73].
6) [pic 74]
Решение
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Замена: [pic 75], тогда [pic 76], где [pic 77] - некоторые функции от [pic 78]. Сделаем подстановку:
[pic 79]
[pic 80]
[pic 81] [pic 82] [pic 83] [pic 84] [pic 85].
Найдем [pic 86]:
[pic 87]
[pic 88].
Тогда функция [pic 89] будет равна:
[pic 90], С – некоторая постоянная.
7) [pic 91]
Решение
Имеем: [pic 92].
Имеем уравнение Бернулли. Замена: [pic 93], тогда [pic 94], где [pic 95] - некоторая функция от [pic 96]. Сделаем подстановку:
[pic 97]
[pic 98]
Замена: [pic 99], тогда [pic 100], где [pic 101] - некоторые функции от [pic 102]. Сделаем подстановку:
[pic 103]
[pic 104]
[pic 105] [pic 106] [pic 107] [pic 108].
Найдем [pic 109]:
[pic 110] [pic 111].
Тогда функция [pic 112] будет равна:
[pic 113], С – некоторая постоянная.
Функция [pic 114] будет равна: [pic 115].
8)-10) Для дифференциальных уравнений второго порядка найти общее решение или частное решение, удовлетворяющее начальным условиям задачи Коши.
8) [pic 116]
Решение
[pic 117]
...