О геометрии Римановых субмерсий

        О ГЕОМЕТРИИ РИМАНОВЫХ СУБМЕРСИЙ        

Абдишукурова Гузал Максуд кизи

Национальный университет Узбекистана им.М.Улугбека

г.Ташкент

Пусть [pic 1] - гладкое связное  риманово многообразие размерности  [pic 2] с римановой  метрикой [pic 3], [pic 4]-множество  гладких векторных  полей, опре-деленных на  [pic 5].Всюду в работе гладкость будет  означать гладкость  класса  [pic 6].

Определение- 1.  Пусть [pic 7] - максимальный атлас, определяющий на [pic 8]  структуру гладкого многообразия  класса  [pic 9],  [pic 10] , [pic 11]

 Семейство  [pic 12]  линейно связных подмножеств [pic 13]  назы-вается  [pic 14]мерным [pic 15] слоением, если  оно удовлетворяет следующим трем условиям:        

1. [pic 16]

2.[pic 17] [pic 18]  если  [pic 19] где  [pic 20].                                                        3.  Для каждой точки [pic 21] существует локальная карта [pic 22]  класса [pic 23]  такая, что  [pic 24]  и если  [pic 25] для некоторого   [pic 26]  то компоненты линейной  связности множества  [pic 27]    имеют вид                                        [pic 28]где числа   [pic 29] постоянны на компонентах линейной  связности.

Множество [pic 30]  называется слоем слоения [pic 31] Условия 1 и 2 означают, что [pic 32] состоит из взаимно-непересекающихся слоев. [pic 33]                

Пусть  [pic 34] дифференцируемое отображение максимального ранга, где [pic 35]-гладкие многообразия размерности [pic 36] соответственно, [pic 37].Такие отображения называются субмерсиями. Для  субмерсий имеет место следующая теорема.

Теорема-1[1]. Пусть [pic 38] – дифференцируемое отображение мак-симального ранга, где [pic 39] – гладкое многообразие размерности [pic 40], [pic 41] – глад-кое многообразие размерности [pic 42], [pic 43]. Тогда для каждой точки [pic 44] множество [pic 45] является многообразием размерности ([pic 46]) и разбиение [pic 47] на компоненты связности многообразий [pic 48] является [pic 49] – мерным слоением.

Таким образом субмерсия [pic 50] порождает слоение [pic 51] размерности [pic 52] на многообразии [pic 53], слоями которого являются подмногообразия [pic 54]. Изучению геометрии и топологии слоений, порожденных субмерсиями, посвящены многочисленные исследования [3,4,5].

        Пример-1. Субмерсия[pic 55],определенная формулой  [pic 56], задает  на  [pic 57]двумерное  слоение , каждый слой  которого есть эллиптический  параболоид,  поверхность  уровня функции  [pic 58]).        

Пусть [pic 59]–гладкое риманово многообразие размерности  [pic 60], [pic 61]-слоение  размерности [pic 62], где [pic 63]. Обозначим через [pic 64] слой слоения [pic 65], про-ходящий через точку [pic 66],через [pic 67]- касательное пространство слоя[pic 68] в

 точке [pic 69],через [pic 70] - ортогональное дополнение подпространства [pic 71].В результате возникают подрасслоения [pic 72], [pic 73] касательного расслоения [pic 74] и  имеем ортогональное разложение  [pic 75].  Таким  образом каждое  векторное поле[pic 76]  разложимо в виде: [pic 77], где [pic 78], [pic 79]. Если [pic 80]=0 (соответственно [pic 81] ), то поле [pic 82] называется вертикальным (соответственно горизонтальным) векторным полем.

        Кусочно-гладкая кривая [pic 83] называется горизонтальной (вертикальной), если касательный вектор [pic 84] этой кривой является горизонтальным (вертикальным) полем.