Контрольная работа по "Геометрии"

Контрольная работа №1

Вариант 8

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника [pic 1]: [pic 2]. Требуется:  

1) вычислить длину стороны [pic 3];

2) составить  уравнение стороны [pic 4];

3) найти внутренний угол треугольника при вершине  [pic 5];

4) составить уравнение высоты [pic 6], проведенной из вершины [pic 7];

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

Решение

1) Вычислим длину стороны [pic 8] по формуле :

[pic 9]

2) Составим  уравнение стороны [pic 10], использую формулу:

[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14] - уравнение [pic 15]

3) Внутренний угол треугольника при вершине [pic 16] найдем как угол между прямыми [pic 17] и [pic 18]. Для чего сначала вычислим угловой коэффициент [pic 19] по формуле:

[pic 20]

и возьмем из уравнения [pic 21] угловой коэффициент прямой [pic 22]: [pic 23]

Из расположения точек [pic 24] на координатной плоскости видно, что угол [pic 25] - острый, поэтому вычислим по формуле:

[pic 26]

4) Для получения уравнения высоты [pic 27], проведенной из вершины [pic 28], используем уравнение пучка прямых и условие перпендикулярности прямых. Сначала вычислим угловой коэффициент прямой [pic 29]. Так как [pic 30], то [pic 31]

Уравнение [pic 32] получим по формуле:

[pic 33] - уравнение [pic 34]

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если [pic 35] - медиана треугольника и [pic 36] - точка пересечения медиан, то [pic 37], делит [pic 38] в отношении 2:1, начиная от точки [pic 39], т.е. [pic 40] 

Основание медианы [pic 41] является серединой отрезка [pic 42]. Найдем координаты точки [pic 43] по формулам:

[pic 44]     [pic 45]

Теперь, когда координаты концов отрезка [pic 46] известны, найдем координаты точки [pic 47], которая делит [pic 48] в отношении [pic 49], начиная от точки [pic 50], по формулам деления отрезка в заданном соотношении:

[pic 51]     [pic 52] - центр тяжести треугольника [pic 53].

6) Построим чертеж к задаче в системе координат [pic 54]. Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

[pic 55]

Ответы:

1. длина стороны [pic 56];
2. уравнение стороны [pic 57]: [pic 58];
3. угол при вершине [pic 59]: [pic 60];
4. уравнение высоты [pic 61]: [pic 62];
5. координаты центра тяжести треугольника: [pic 63].

Задача 2. Даны координаты точки [pic 64], уравнение прямой [pic 65] и число [pic 66]. Найти траекторию точки [pic 67], которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояния до точки А и до прямой [pic 68] равно [pic 69]. Сделать чертеж в системе координат.

Решение

Пусть [pic 70] - произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющая условию задачи, т.е. [pic 71], где [pic 72] - основание перпендикуляра, опущенного из точки [pic 73] на прямую [pic 74]. Так как [pic 75] лежит на прямой [pic 76], то [pic 77].